Dimension multivariater selbstähnlicher Prozesse

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Kern
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 242360936

• Erstellungsjahr: 2016

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Selbstähnlichkeit geometrischer Objekte ist eine sehr häufig auftretende mathematische Eigenschaft, die auch in der Natur beobachtet werden kann. Als mathematische Disziplin widmet sich die fraktale Geometrie dem Studium selbstähnlicher Objekte und kann diesen eine gebrochene, nicht ganzzahlige Dimension zuordnen. Hierfür eignen sich verschiedene fraktale Dimensionsbegriffe unter denen die Hausdorff Dimension zu den etablierten gehört. Sind die Untersuchungsobjekte dynamischer und zufälliger Natur, so kann die Forderung der Selbstähnlichkeit in einem statistischen Sinne abgeschwächt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach linearer Reskalierung der Zeit soll dann dieselbe sein, wie nach einer räumlichen Reskalierung. Das Forschungsprojekt widmet sich genau solchen Fragestellungen, wobei die Untersuchungsobjekte die selbstähnlichen zufälligen Bild- und Graphenmengen stochastischer Prozesse und Zufallsfelder darstellen. Dabei kann aufgrund der multivariaten Struktur die Reskalierung mittels linearer Operatoren erfolgen. Es ist innerhalb des Projektes gelungen, für sehr allgemeine Klassen selbstähnlicher stochastischer Prozesse und Zufallsfelder die Hausdorff Dimension des Bildes und des Graphen in Abhängigkeit von den Realteilen der Eigenwerte der Skalierungsoperatoren vollständig zu bestimmen und weitere fraktale Eigenschaften herzuleiten. Die untersuchten Klassen beinhalten: • operator stabile und semistabile Levy Prozesse, • operator skalierende stabile Zufallsfelder und Zufallsblätter, • multivariate operator selbstähnliche Gaußsche und stabile Zufallsfelder mit stationären Zuwächsen. Die erzielten Resultate liefern wertvolle Informationen über die lokale Rauheit der zugehörigen Pfadmengen und können so gewinnbringend zur stochastischen Modellbildung z.B. in der Physik eingesetzt werden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• (2015) The Hausdorff dimension of multivariate operator-self-similar Gaussian random fields
  Sönmez, E.
  (Siehe online unter https://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2017.05.003)
• (2014) Dimension results related to the St. Petersburg game. Probab. Math. Statist. 34 97–117
  Kern, P.; Wedrich, L.
  
• (2015) Hausdorff dimension of the graph of an operator semistable Lévy processes. J. Fractal Geometry
  Wedrich, L.
  (Siehe online unter https://dx.doi.org/10.4171/JFG/43)
• (2015) The Hausdorff dimension of the graph of operator scaling stable random sheets
  Sönmez, E.
  
• (2016) Asymptotic behavior of semistable Lévy exponents and applications to fractal path properties. J. Theoret. Probab.
  Kern, P.; Meerschaert, M.M.; Xiao, Y.
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10959-016-0720-6)
• (2016) On exact Hausdorff measure functions of operator semistable Lévy processes
  Kern, P.; Wedrich, L.
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1080/07362994.2017.1344556)
• (2016) Sample path properties of multivariate operator-self-similar stable random fields
  Sönmez, E.