Dimension of multivariate selfsimilar processes

• Applicant: Professor Dr. Peter Kern
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2013 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 242360936

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Die Selbstähnlichkeit geometrischer Objekte ist eine sehr häufig auftretende mathematische Eigenschaft, die auch in der Natur beobachtet werden kann. Als mathematische Disziplin widmet sich die fraktale Geometrie dem Studium selbstähnlicher Objekte und kann diesen eine gebrochene, nicht ganzzahlige Dimension zuordnen. Hierfür eignen sich verschiedene fraktale Dimensionsbegriffe unter denen die Hausdorff Dimension zu den etablierten gehört. Sind die Untersuchungsobjekte dynamischer und zufälliger Natur, so kann die Forderung der Selbstähnlichkeit in einem statistischen Sinne abgeschwächt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach linearer Reskalierung der Zeit soll dann dieselbe sein, wie nach einer räumlichen Reskalierung. Das Forschungsprojekt widmet sich genau solchen Fragestellungen, wobei die Untersuchungsobjekte die selbstähnlichen zufälligen Bild- und Graphenmengen stochastischer Prozesse und Zufallsfelder darstellen. Dabei kann aufgrund der multivariaten Struktur die Reskalierung mittels linearer Operatoren erfolgen. Es ist innerhalb des Projektes gelungen, für sehr allgemeine Klassen selbstähnlicher stochastischer Prozesse und Zufallsfelder die Hausdorff Dimension des Bildes und des Graphen in Abhängigkeit von den Realteilen der Eigenwerte der Skalierungsoperatoren vollständig zu bestimmen und weitere fraktale Eigenschaften herzuleiten. Die untersuchten Klassen beinhalten: • operator stabile und semistabile Levy Prozesse, • operator skalierende stabile Zufallsfelder und Zufallsblätter, • multivariate operator selbstähnliche Gaußsche und stabile Zufallsfelder mit stationären Zuwächsen. Die erzielten Resultate liefern wertvolle Informationen über die lokale Rauheit der zugehörigen Pfadmengen und können so gewinnbringend zur stochastischen Modellbildung z.B. in der Physik eingesetzt werden.

Publications

• (2015) The Hausdorff dimension of multivariate operator-self-similar Gaussian random fields
  Sönmez, E.
  (See online at https://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2017.05.003)
• (2014) Dimension results related to the St. Petersburg game. Probab. Math. Statist. 34 97–117
  Kern, P.; Wedrich, L.
  
• (2015) Hausdorff dimension of the graph of an operator semistable Lévy processes. J. Fractal Geometry
  Wedrich, L.
  (See online at https://dx.doi.org/10.4171/JFG/43)
• (2015) The Hausdorff dimension of the graph of operator scaling stable random sheets
  Sönmez, E.
  
• (2016) Asymptotic behavior of semistable Lévy exponents and applications to fractal path properties. J. Theoret. Probab.
  Kern, P.; Meerschaert, M.M.; Xiao, Y.
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10959-016-0720-6)
• (2016) On exact Hausdorff measure functions of operator semistable Lévy processes
  Kern, P.; Wedrich, L.
  (See online at https://doi.org/10.1080/07362994.2017.1344556)
• (2016) Sample path properties of multivariate operator-self-similar stable random fields
  Sönmez, E.