Nichtlineare Gitterwellen

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Herrmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 244645062

Viele der mathematischen Modelle, die in der Physik, der Biologie oder den Materialwissenschaften verwendet werden, sind Hamiltonsche Gitter- gleichungen und beschreiben die Dynamik von räumlich diskreten Medien oder Netzwerken von gekoppelten Oszillatoren. Für die mathematische Un- tersuchung solcher Systeme sind stehende oder laufende Wellen von besonderer Bedeutung, da sie die nichtlinearen Elementarmoden für die Energie- und Informationausbreitung darstellen. Die mathematische Analysis nichtlinearer Gitterwellen hat sich, bedingt durch die stürmische Entwicklung in physikalischen Theorien wie Bose-Einstein-Kondensation, Nichtlineare Optik oder martensitische Phasen- übergänge, in den letzten Jahrzehnten wesentlich weiterentwickelt, aber die meisten rigorosen Resultate betreffen räumlich eindimensionale Systeme. In diesem Forschungsprojekt betrachten wir Hamiltonsche Gittergleichungen in zwei oder drei Raumdimensionen und wollen eine Existenztheorie für verschiedene Arten von stehenden und laufenden Wellen entwickeln. Wir konzentrieren uns dabei auf großamplitudige Wellen und verwenden variationelle Methoden, genauer gesagt Optimierung mit oder ohne Nebenbedingungen, um die Existenz von periodischen, homoklinen und heteroklinen Wellen für eine große Klasse von Gittergleichungen zu beweisen. Diese Klasse umfasst atomistische Modelle für Elastizität, peri-dynamische Netzwerke gekoppelter Oszillatoren, und elektrische Transmissionsgitter. Außerdem wollen wir mit Hilfe numerischer Simulationen und durch Vergleich unterschiedlicher Modelle verstehen, welchen Effekt geometrische Nichtlinearitäten und nichtlokale Kopplungsterme auf die Wellenausbreitung in diskreten Medien haben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen