Zufällige dynamische Systeme und Regularisierung durch Rauschen für stochastische partielle Differentialgleichungen.

• Antragsteller: Professor Dr. Benjamin Gess
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 247297551

Stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDG) sind zentral in der Modellierung einer Vielzahl stochastischer Systeme, wie sie bspw. in der Fluid-, Kontinuums- und Quantenmechanik sowie in technischen Anwendungen auftreten. In nur wenigen Fällen ist eine explizite Lösung dieser Gleichungen möglich, so dass mathematische, qualitative Methoden zentral für das Verständnis der zu Grunde liegenden Systeme sind. Bereits in dem klassischen Fall deterministischer partieller Differentialgleichungen (PDG) ist das Verhalten einzelner Trajektorien häufig zu komplex, um eine genaue Analyse zu erlauben. Ein zentraler Bestandteil für das Verständnis solcher komplexer Systeme beruht daher auf der geometrischen Untersuchung des assoziierten Flusses von Lösungen. Diese Methodik erlaubt es in vielen Fällen, das qualitative Verhalten komplexer Systeme, wie bspw. Langzeitverhalten, zu verstehen. Ein wesentliches Ziel der mathematischen Forschung im Bereich der SPDG in den letzten 20 Jahren war daher die Verallgemeinerung dieser deterministischen Techniken auf stochastische Dynamiken. Hier bewegen wir uns in dem spannenden Grenzbereich zwischen Analysis, Stochastik und dynamischen Systemen. Während viele dieser etablierten, deterministischen Techniken auf den abstrakten Rahmen zufälliger dynamischer Systeme verallgemeinert werden konnten, findet sich eine zentrale Diskrepanz zwischen den Annahmen dieser abstrakten Theorie und ihren erhofften Anwendungen im Bereich der SPDG. Während für deterministische PDG die (Semi-)Flusseigenschaft für Lösungen direkt aus deren Eindeutigkeit folgt, ist die stochastische Flusseigenschaft und damit die Grundannahme der Theorie zufälliger dynamischer Systeme, im Fall stochastisch gestörter PDG im Allgemeinen unbekannt. Bisherige Resultate beschränken sich im wesentlichen auf affin-lineare Diffusionskoeffizienten. Ein zentrales Ziel dieses Forschungsprojektes ist daher die Entwicklung von Methoden zum Beweis der stochastischen Flusseigenschaft für SPDG mit nicht-linearen Diffusionskoeffizienten. Während in der bisherigen Darstellung Rauschen in PDG als zusätzliche Schwierigkeit erschien, sind auch Fälle der Regularisierung und Vereinfachung von Dynamiken durch Rauschen bekannt. Bspw. konnte in einer kürzlich erschienenen Arbeit die Eindeutigkeit von Lösungen zu stochastischen Transportgleichungen auf Grund von Rauschen gezeigt werden. Ergebnisse dieser Art sind von zentraler Bedeutung im Bereich der PDG, da sie Hoffnung geben, durch die Berücksichtigung stochastischer Effekte besseres Verständnis für das Millennium-Problem der Eindeutigkeit von Lösungen der 3D-Navier-Stokes Gleichung zu gewinnen. Andererseits sind die Herausforderungen in der Analyse von Fluid-Gleichungen deren nicht-linearer Struktur geschuldet, während Transportgleichungen linear sind. Ein weiteres zentrales Anliegen dieses Forschungsprojektes ist es daher, die mögliche Regularisierung nicht-linearer Erhaltungssätze durch Rauschen zu verstehen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Panagiotis E. Souganidis, Ph.D.