Regularisierungsverfahren in Banachräumen angewandt auf inverse Streuprobleme

• Antragsteller: Professor Dr. Armin Lechleiter, seit 11/2013 (†)
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 247299886

Die Lösung von inversen Streuproblemen ist von grundlegender Bedeutung für zerstörungsfreie Prüfverfahren in den Ingenieurwissenschaften und in der Physik. Beispiele für mögliche Anwendungen sind die Erkundung der oberen Schichten der Erdkruste durch Bodenradarmessungen oder die Charakterisierung von lokalen Fehlern in optischen Strukturen durch Streulichtmessungen. All diese Probleme sind mathematisch gesehen nichtlineare, inverse Parameteridentifikationsprobleme. In diesem Projekt untersuchen wir inverse Streuprobleme für penetrable Streuobjekte, die in einer im Vorhinein bekannten Wavelet-Basis durch wenige Basisfunktionen darstellbar sind. Solche Objekte bezeichnet man üblicherweise als dünn besetzte ('sparse'), inhomogene Medien. Zur Rekonstruktion dieser Medien schlagen wir nichtlineare Wavelet-Regularisierungsverfahren in Banachräumen vor, die in einem abstrakten Kontext manchmal als 'sparsity'-Regularisierung bezeichnet werden. Ziel des Projekts ist es, Regularisierungs- und Konvergenzeigenschaften solcher Wavelet-Rekonstruktionsverfahren für inverse Streuprobleme analytisch zu beweisen und numerisch zu demonstrieren. Wichtige Bestandteile der Analyse sind geeignete Lösungstheorien für zeitharmonische akustische und elektromagnetische Wellengleichungen mit Parametern in Banachräumen unbeschränkter Funktionen und schnelle Algorithmen für Wavelet-Regularisierungsverfahren in Banachräumen. Die oben angeführten Rekonstruktionsverfahren sind insbesondere dann zweckmäßig, wenn das betrachtete inverse Streuproblem nicht eindeutig lösbar ist, gleichzeitig aber bereits bekannt ist, dass die gesuchte Lösung dünn besetzt ist. In diesem Fall sucht der Regularisierungsalgorithmus automatisch nach der Lösung des inversen Problems, die am dünnsten besetzt ist. Diese Eigenschaft wollen wir numerisch sowohl für synthetische als auch für gemessene Daten im Kontext mehrerer praktisch relevanter Probleme demonstrieren, z.B. für inverse elektromagnetische Streuprobleme mit phasenlosen Daten oder für Rückstreuprobleme.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Ehemaliger Antragsteller: Dr. Kamil Sylwester Kazimierski-Hentschel, bis 11/2013