The effects of small tansaction costs on investment strategies and their efficiency
Final Report Abstract
In finanzmathematischen Modellen werden Transaktionskosten und ähnliche Störungen üblicherweise ausgeklammert. Ihre Einbeziehung führt zu stochastischen Optimierungsproblemen, die auch numerisch nur schwer lösbar sind. In der realistischen Näherung kleiner Kosten lassen sich jedoch überraschend explizite Resultate gewinnen. Das Vorhaben umfasste drei Teilprojekte: die mathematisch vollständige Verifikation bislang heuristisch gewonnener Näherungen führender Ordnung in Gegenwart von proportionalen Transaktionskosten, die Gewinnung und Verifikation ähnlicher Ergebnisse für andere Kostenstrukturen und schließlich die Behandlung von Transaktionskostenproblemen in Märkten mit vielen bis hin zu Hunderten von Wertpapieren. Das erste Teilprojekt konnte vollständig umgesetzt werden. Die Verifikation gelang mit Hilfe der von Vicky Henderson in anderem Zusammenhang entwickelten Idee, explizite Kandidaten für das primale sowie das zugehörige duale Optimierungsproblem in Hinblick auf ihre Wertasymptotik zu vergleichen. Dadurch lässt sich Optimalität in führender Ordnung nachweisen, ohne überhaupt die Existenz und Eigenschaften des exakten Optimierers untersuchen zu müssen. Über das konkrete Problem und die dort verwendeten Techniken hinaus schälte sich eine Art „stochastische Feinabstimmung“ der genannten expliziten Kandidaten als wesentliche neue methodische Komponente heraus. Dank ihrer können Optimierungsaussagen unter deutlich schwächeren Regularitätsbedingungen gezeigt werden. Auch das zweite Teilprojekt konnte in einem relevanten Beispielkontext, nämlich für exponentiellen Nutzen und proportionale Transaktionskosten, vollständig bearbeitet werden. Da der Henderson’sche Ansatz mangels Konvexität nicht zur Verfügung stand und eine stochastische Alternative zur gängigen analytischen Vorgehensweise angestebt wurde, wurde eine neue Methodik entwickelt. Dies gelang überraschend einfach durch eine Kombination von Elementen der Steuerungstheorie mit Martingalmethoden. Zum Erfolg in Bezug auf Verifikation unter schwachen Regularitätsbedingungen trug wieder die oben genannte stochastische Feinabstimmung bei, für die es bei stärker analytischen Herangehensweisen kein natürliches Analogon zu geben scheint. Der hier angewandte Zugang ist im Gegensatz zum ersten Teilprojekt nicht auf konvexe Probleme beschränkt und daher sehr allgemein einsetzbar. Das dritte Teilprojekt konnte eine einfache, auch in hohen Dimensionen leicht berechenbare Heuristik gewonnen werden, die in realitätsnahen Beispielproblemen sehr gute numerische Eigenschaften besitzt. Eine solche Lösung lag in der Literatur bislang nicht vor. Es zeigt sich, dass durch eine entsprechende Anlagestrategie analog zu Modellen mit nur einem Wertpapier die Effekte von Transaktionskosten so stark reduziert werden, dass sie Durchschnittsinvestoren nur in geringem Umfang belasten.
Publications
- On using shadow prices for the asymptotic analysis of portfolio optimization under proportional transaction costs, Dissertation Christian-Albrechts Universität zu Kiel, 2015
L. Ahrens
- Almost surely optimal portfolios under proportional transaction costs. In: Advanced Modelling in Mathematical Finance, 303–312, Springer, 2016
J. Kallsen, M. Feodoria
(See online at https://doi.org/10.1007/978-3-319-45875-5_14) - Optimal investment and utility indifference pricing in the presence of small fixed transaction costs, Dissertation Christian-Albrechts Universität zu Kiel, 2016
M. Feodoria
- Portfolio optimization in arbitrary dimensions in the presence of small bid-ask spreads, Dissertation Christian-Albrechts Universität zu Kiel, 2017
S. Mikheev
- The general structure of optimal investment and consumption with small transaction costs. Math. Finance 27, S. 759-703, 2017
J. Kallsen, J. Muhle-Karbe
(See online at https://doi.org/10.1111/mafi.12106)
