Evolutionary problems with p,q-growth
Final Report Abstract
Im Rahmen des Projekts wurde die Frage nach der Existenz und Regularität von Lösungen parabolischer Gleichungen und Systemen mit p, q-Wachstum eingehend untersucht. Die Besonderheit derartiger Gleichungen liegt darin, dass die Elliptizitäts- und Wachstumsexponenten der Koeffizienten unterschiedlich sind. Im stationären Setting wurden derartige Probleme bereits eingehend untersucht. Im Gegensatz dazu war im zeitabhängigen parabolischen Setting kaum etwas bekannt. In diesem Projekt gelang es, wichtige Erkenntnisse auf diesem Gebiet erzielen. Insbesondere wurden die im Projektantrag beschriebenen Problemstellungen fast vollständig gelöst. Auch einige weiterführende Fragestellungen konnten bereits behandelt werden. Als sehr wichtiges Instrument stellte sich der Begriff der Variationslösungen dar, der von Lichnewsky und Temam im Kontext der zeitabhängigen parametrischen Minimalflächengleichung eingeführt wurde. Dieser Lösungsbegriff erlaubt es, auf Methoden der Variationsrechnung zurückzugreifen und somit eine flexiblere Beweistechnik für die Existenz von Lösungen parabolischer Probleme zu entwickeln. Viele unserer Resultate können unter deutlich schwächeren Voraussetzungen bewiesen werden, als dies zuvor möglich war (z.B. exponentielles Wachstum des Integranden, nicht-zylindrische Gebiete, in der Zeit unstetige Hindernisse, ...). Im Rahmen des Projekts wurde wie geplant eine Dissertation erfolgreich abgeschlossen. Sie wurde mit dem Hans Stegbuchner-Preis 2016 des Fachbereichs Mathematik der Universitat Salzburg ausgezeichnet.
Publications
- Existence of evolutionary variational solutions via the calculus of variations. J. Differential Equations. 256(12):3912–3942, 2014
V. Bögelein, F. Duzaar and P. Marcellini
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jde.2014.03.005) - Local Caldéron-Zygmund estimates for parabolic minimizers. Nonlinear Anal. 125:561–581, 2015
S. Signoriello and T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1016/j.na.2015.06.005) - Parabolic equations with p,q-growth: The subquadratic case. Q. J. Math. 66 (2):707–742, 2015
T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1093/qmath/hav005) - Evolutionary problems with p, q-growth. Dissertation, Paris-Lodron-Universität Salzburg, 11.11.2016
T. Singer
- Existence of weak solutions of parabolic systems with p, q-growth. Manuscripta Math. 151, 87–112, 2016
T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1007/s00229-016-0827-1) - Local Boundedness of variational solutions to evolutionary problems with non-standard growth. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 23:19, 2016
T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1007/s00030-016-0370-5) - Holder continuity of parabolic quasi-minimizers. J. Differential Equations 263(9):6066–6114, 2017
S. Signoriello and T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.07.008) - Parabolic equations and the bounded slope condition. Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéaire 34(2):355–379, 2017
V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, and S. Signoriello
(See online at https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2015.12.005) - Doubly Nonlinear Equations of Porous Medium Type. Arch. Ration. Mech. Anal. 229:503–545, 2018
V. Bögelein, F. Duzaar, P. Marcellini, and C. Scheven
(See online at https://doi.org/10.1007/s00205-018-1221-9) - Existence of variational solutions in non-cylindrical domains. SIAM J. Math. Anal. 50(3), 3007–3057, 2018
V. Bögelein, F. Duzaar, C. Scheven, and T. Singer
(See online at https://doi.org/10.1137/17M1156423)
