Auflösung von Singularitäten in positiver Charakteristik: Der Fall kleiner Dimension oder großer Charakteristik

• Antragsteller: Dr. Bernd Schober
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 250489866

In der algebraischen Geometrie studiert man die Eigenschaften geometrischer Objekte X. Im Teilgebiet der Auflösung von Singularitäten möchte man insbesondere wissen, ob es immer möglich ist, Knoten, Spitzen und ähnliche Problemstellen (genannt Singularitäten) zu beseitigen. Genauer sucht man nach einem Objekt Y so, dass dieses keine Singularitäten hat, fast überall mit X übereinstimmt und zusätzlich soll X eine geeigneter Projektion (oder bildlich ein Schatten) von Y sein.Für Objekte X, die man sich real vorstellen kann, d.h. der Dimension eins (Kurven) und zwei (Flächen) ist bewiesen, dass solch ein Y stets existiert. Unter gewissen Einschränkungen gilt dies sogar für alle Dimension. Der allgemeine Fall ist bislang aber ungelöst.Nun ist es aber so, dass die zuvor erwähnten Einschränkungen keine scharfe Abgrenzung angeben, für welche X man mit den bekannten Methoden ein solches Y finden kann. Daher soll in Teilprojekt (1) eine scharfe Grenze hierfür bestimmt werden.In Dimension kleiner oder gleich zwei existiert der Ansatz, Y mit Hilfe der geometrischen Struktur der Singularitäten zu finden. In einem Spezialfall konnte Hironaka eine Invariante aus dem sogenannten charakteristischen Polyeder konstruieren. Diese Invariante misst die Singularitäten, verbessert sich schrittweise und nach endlich vielen Schritten erhält man Y. Der charakteristische Polyeder ist ein weiteres geometrisches Objekt, das man zu X assoziieren kann und das die Natur der Singularitäten zu einem gewissen Grad reflektiert. Der allgemeine Beweis des obigen Ansatz ist allerdings indirekt. Deswegen ist die Idee, in Teilprojekt (2) Hironakas Polyeder zu studieren, um eine geeignete Invariante für den allgemeinen Fall (in Dimension kleiner oder gleich zwei) zu finden.Zur Bestimmung des charakteristischen Polyeders muss man einen gewissen Prozess durchlaufen. Für einen Spezialfall ist bekannt, dass dieser Prozess endlich ist. Die Methoden aus diesem Beweis sollen in Teilprojekt (3) soweit wie möglich für den allgemeinen Fall angewendet und gegebenenfalls durch neue Ideen ergänzt werden.In Teilprojekt (4) sollen gerade solche X betrachtet werden, für welche die bekannten Methoden versagen. Das Problem der Auflösung dieser ist mittlerweile mehr als 25 Jahre alt. Daher ist Teilprojekt (4) als spekulativ zu betrachten. Der erste unbekannte Fall für diese findet sich in Dimension drei. Die einfachste Variante hier wurde bereits von Cossart und Piltant gelöst. Trotz der Tiefe des Problems sehe ich einen Ansatz, ihre Beweisidee auf den nächsten offen Fall zu verallgemeinern und so erste Schritte in die Lösung dessen zu machen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Vincent Cossart