Ein semiklassischer Zugang zu Spektren quantisierter Hamiltonfunktionen auf dem Torus

• Antragsteller: Dr. Sebastian Egger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 251320072

Das Projekt behandelt offene Fragestellungen im Quantenchaos und liefert Ansätze, um semiklassische Methoden auf Probleme in der Gitter-Quantenchromodynamik anzuwenden. Im Quantenchaos ist es wissenschaftlicher Konsens und numerisch eingehend getestet, dass die statistischen Eigenschaften des Spektrums eines Hamilton-Operators von speziellen Symmetrien der entsprechenden klassischen Hamiltonfunktion bestimmt werden. Eine befriedigende mathematisch rigorose Beschreibung dieser Eigenschaft ist jedoch bis jetzt nicht gelungen. Torus-Abbildungen erwiesen sich als sehr nützliche Modellsysteme, um diesen Zusammenhang zu testen, lieferten aber auch überraschende Gegenbeispiele dazu. Ich plane, die Methoden für Torus-Abbildungen auf Hamiltonfunktionen mit einem toroidalen Phasenraum zu verallgemeinern. Durch eine gründliche semiklassische Analyse sollen die Voraussagen des Quantenchaos über die spektralen Korrelationen der quantisierten Torus-Hamiltonfunktionen untersucht und getestet werden. Ein entscheidender Teil des Projekts ist, eine Spurformel nach dem Muster der Gutzwiller'schen Spurformel für quantisierte Torus-Hamiltonfunktionen herzuleiten und die Spurformel für eine Untersuchung spektraler Dichten und spektraler Korrelationen zu nutzen. Durch diese Analysen hoffe ich, ein besseres Verständnis der Zusammenhänge zwischen der klassischen Dynamik im toroidalen Phasenraum, erzeugt durch Hamiltonfunktionen, und den Spektren der entsprechenden Hamilton-Operatoren zu gewinnen. Ich plane, Methoden zu entwickeln, um die Quantenmechanik auf einem Torus mit der Gitter-Quantenchromodynamik zu verbinden. Die Gitter-Quantenchromodynamik liefert Methoden, die physikalischen Massen von Mesonen und Hadronen numerisch zu bestimmen. Die Idee meines Ansatzes ist, die Gitter Dirac-Operatoren, welches wichtige Objekte in der Gitter-Quantenchromodynamik sind, durch quantisierte Torus-Hamiltonfunktionen auszudrücken. Durch das Verbinden der Ergebnisse beabsichtige ich eine semiklassische Analyse von spektralen Determinanten von Gitter Dirac-Operatoren. Die semiklassiche Analyse der spektralen Determinante besitzt das Potenzial, sehr zeitaufwendige numerische Berechnungen in der Gitter-Quantenchromodynamik zu vereinfachen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Jens Bolte