Wavelet-Approximationstheorie in höheren Dimensionen: Grundlagen für einen systematischen Vergleich verschiedenartiger Waveletsysteme

• Antragsteller: Professor Dr. Hartmut Führ
• Subject Area: Mathematik
• Term: from 2014 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 252374830

Für Zwecke der Approximation und Analyse multivariater Daten, etwa bei der effizienten Verarbeitung von Bildinformation, wurde in jüngster Vergangenheit eine Vielzahl von Konstruktionen vorgestellt, die sich als höherdimensionale Analoga von Wavelet-Systemen auffassen lassen. Beispielhaft seien hier Tensorproduktwavelets, Shearlets und Curvelets genannt. Manche dieser Konstruktionen basieren auf der Darstellungstheorie lokalkompakter topologischer Gruppen; hier spielen insbesondere affine Wirkungen eine große Rolle. Das vorliegende Projekt hat zum Ziel, eine einheitliche Approximationstheorie für eine große Klasse darstellungstheoretisch konstruierter Wavelet-Systeme zu entwickeln. Wesentliches Hilfsmittel für die mathematische Analyse sind hierbei Klassen von Banachräumen, die sogenannten Coorbit-Räume, sowie die dazu verwandten Zerlegungsräume.Das Hauptziel ist hierbei die Fortsetzung von Arbeiten des Antragsstellers, in denen Wohldefiniertheit und grundlegende Eigenschaften von Coorbit-Räumen zu einer ganzen Klasse affiner Gruppen etabliert wurden. Insbesondere wird hierbei die Rolle des linear wirkenden Anteils (der Dilatationsgruppe) systematisch untersucht werden Approximationstheoretische Eigenschaften der konstruierten Wavelet-Systeme sollen systematisch in Bezug zu Eigenschaften der Dilatationsgruppe gesetzt werden. Hier kommt der sogenannten dualen Wirkung der Dilatationsgruppe eine besondere Bedeutung zu.Um dies zu erreichen, wird zunächst die Ausweitung der Klasse der Coorbit-Räume auf Triebel-Lizorkin-Räume und auf Coorbit-Räume zu Quasi-Banachräumen untersucht. Im Anschluss daran steht das systematische Studium von Kriterien für Einbettungsresultate, zwischen Coorbiträumen zu verschiedenen Dilatationsgruppen, oder zwischen Coorbiträumen und anderen, klassischen Funktionenräumen (oder anisotropen Versionen von letzteren). Für diesen Zweck ist eine Alternativbeschreibung der Coorbit-Räume als sogenannte Zerlegungsräume hilfreich, die erst entwickelt werden muss. Neben der Beschreibung und dem Vergleich von Coorbiträumen werden die approximationstheoretischen Eigenschaft der Waveletsysteme auf ihre Eigenschaft hin untersucht, (lokale) Regularität durch (lokales) Abklingen der Waveletkoeffizienten zu charakterisieren. Hierbei sollen die Bestimmung lokaler Lipschitz-Konstanten, sowie der Wellenfrontmenge einer Distribution, im Vordergrund stehen.

• DFG Programme: Sachbeihilfen