Wavelet approximation theory in higher dimensions: Foundations for a systematic comparison of diverse wavelet systems

• Applicant: Professor Dr. Hartmut Führ
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2014 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 252374830

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Höherdimensionale Wavelet-Systeme lassen sich durch Wahl einer Matrixgruppe definieren, die die Dilatationen im System festlegen. Mit wachsender Dimension wird die Menge der Matrixgruppen, die als Grundlage für eine solche Konstruktion verwendet werden können, rasch unüberschaubar. Das Projekt hatte das Ziel, höherdimensionale Wavelet-Systeme in einer einheitlichen, Fourieranalytischen Sprache zu beschreiben und zu analysieren. Ziel der Analyse waren hauptsächlich approximationstheoretische Fragen: Jedes Wavelet-System definiert eine Skala von Räumen besonders gut approximierbarer Funktionen, die Wavelet-Coorbit-Räume. Bis vor kurzem hat sich das Studium dieser Räume auf Einzelfälle beschränkt; insbesondere ist ihre Abhängigkeit von der zugrundeliegenden Matrixgruppe nur schlecht verstanden. Das Projekt zielte darauf, die Theorie der Wavelet-Coorbit-Räume möglichst breit zu entwickeln, insbesondere mit dem Ziel, Werkzeuge für den systematischen Vergleich von Wavelet-Systemen zu verschiedenen Dilatationsgruppen bereitzustellen. So ein Vergleich lässt sich beispielsweise anhand von Einbettungssätzen bewerkstelligen: Eine Inklusionsbeziehung CoH1 (Lp) ⊂ CoH2 (Lq) drückt aus, inwieweit die gute Approximierbarkeit einer Funktion bezüglich Wavelet-Systemen über der Gruppe H1 auf die Approximierbarkeit bezüglich Systemen über der Gruppe H2 schließen lasst. Ein Vergleich von Coorbit-Räumen über verschiedenen Gruppen ist jedoch innerhalb der Coorbit-Theorie schon aus technischen Gründen nicht möglich. Um dieses Problem zu lösen, wurde für das vorliegende Projekt die folgende Strategie entwickelt: • Beschreibung von Wavelet-Coorbit-Räumen vom Besov-Typ als sogenannte Zerlegungsräume, einer Fourier-analytisch definierten Klasse von Funktionenräumen, die auf geeigneten Zerlegungen des Frequenzraums basieren. • Entwicklung einer Einbettungstheorie für Zerlegungsräume. • Demonstration der Reichweite der erzielten Resultate an einer Vielzahl von Beispielen. Diese Strategie wurde im Rahmen des Projekts sehr erfolgreich umgesetzt. Der systematische Einsatz des Zerlegungsraum-Formalismus für den Beweis von Einbettungssätzen und Normabschätzungen kann als paradigmatisch für eine Reihe verwandter Fragestellungen der angewandten harmonischen Analysis gelten.

Publications

• Embedding Theorems for Decomposition Spaces with Applications to Wavelet Coorbit Spaces. PhD thesis, RWTH Aachen
  Felix Voigtlaender
  
• Wavelet coorbit spaces viewed as decomposition spaces. J. Funct. Anal., 269(1):80–154, 2015
  Hartmut Führ and Felix Voigtlaender
  
• Resolution of the wavefront set using general continuous wavelet transforms. J. Four. Anal. Appl., 2016
  Jonathan Fell, Hartmut Führ, and Felix Voigtlaender
  
• Simplified vanishing moment conditions for wavelets over general dilation groups, with applications to abelian and shearlet dilation groups. Appl. Comp. Harm. Anal., 2016
  Hartmut Führ and Reihaneh Raisi-Tousi