Optimal design of nonlinear dynamical systems with uncertain delays and uncertain parameters

• Applicant: Professor Dr.-Ing. Martin Mönnigmann
• Subject Area: Automation, Mechatronics, Control Systems, Intelligent Technical Systems, Robotics ; Plant Cultivation, Plant Nutrition, Agricultural Technology ; Technical Chemistry
• Term: from 2014 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 252611919

• Final Report Year: 2019

Final Report Abstract

Dieses Projekt befasste sich mit der Entwicklung eines Verfahrens für die automatische numerische Optimierung auf der Grundlage von dynamischen Systemmodellen. Es wurde eine anspruchsvolle Systemklasse, zeitkontinuierlichen dynamischen Systeme mit unsicheren Parametern sowie unsicheren sowie zustandsabhängigen Totzeiten, behandelt. In diese Klasse fallen eine Vielzahl von Anwendungen, z.B. aus den Ingenieurwissenschaften oder der Biologie. Das hier entwickelte Verfahren wird genutzt, um mit numerischen Optimierungsverfahren Systemparameter zu finden, mit denen die Ruhelage eines Systems in Bezug auf ein Gütemaß optimal ist; z. B. lässt sich so ein Arbeitspunkt mit minimalen Betriebskosten ermitteln. Gleichzeitig soll diese Ruhelage stabil sein und selbst dann stabil bleiben, wenn die Systemparameter nicht genau einstellbar sind oder schwanken. Dazu werden sogenannte Normalenvektorsysteme als Nebenbedingung zum nichtlinearen Optimierungsproblem hinzugefügt, die der Unsicherheit der Systemparameter Rechnung tragen. Die Normalenvektorsysteme werden dabei dazu verwendet, die Abstände zu den umliegenden Stabilitätsgrenzen zu bestimmen und einen Mindestabstand zu garantieren. Die Stabilitätsgrenzen sind i. Allg. nicht bekannt, sondern nur implizit, d.h. in den Differentialgleichungen versteckt, definiert. Bei den Grenzen asymptotischer Stabilität handelt es sich um Bifurkationsmannigfaltigkeiten, die sich auch zu Grenzen exponentieller Stabilität verallgemeinern lassen. Der kürzeste Abstand des nominellen Punktes von diesen kritischen Mannigfaltigkeiten taucht dabei entlang des Normalenvektors der kritischen Mannigfaltigkeit auf. Solange der kritische Punkt mit dem geringsten Abstand vom nominellen Punkt bei der Optimierung angepasst und durch die vorgeschlagenen Nebenbedingungen mitgeführt wird, bleibt diesen nomineller Punkt und kritischer Punkt durch den Normalenvektor auf der kritischen Mannigfaltigkeit verbunden, weshalb das vorgeschlagene Verfahren zu den sogenannten Normalenvektormethoden gezählt werden kann. Dieses Verfahren ist die Weiterentwicklung von Verfahren, die bereits für die Optimierung der Arbeitspunkte von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten dynamischen Systemen ohne Totzeiten erfolgreich eingesetzt wurden. Die Erweiterung auf zeitkontinuierliche dynamische Systeme mit Totzeit ermöglicht es, optimale Arbeitspunkte von Systeme mit komplexen Stabilitätseigenschaften zu finden. Im Rahmen des Projekts wurden u.a. optimale Arbeitspunkte eines Populationsmodells (Biologie), eines dreistufigen Supply-Chain-Modells (Logistik), einer Fluidized Cataltic Cracking Unit (Verfahrenstechnik) oder einer Laserdiode (Halbleiterphysik) ermittelt.

Publications

• Normal vectors on modified Hopf manifolds of delay differential equations, 2016
  J. Otten and M. Mönnigmann
  
• Robust optimization of delay differential equations with state and parameter dependent delays. In Proceedings of the 55th IEEE Conference on Decision and Control, pages 1441–1446, 2016
  J. Otten and M. Mönnigmann
  
• Robust steady state optimization with state dependent delays. In Proceedings of the 13th IFAC Workshop on Time Delay Systems, pages 47–52, 2016
  J. Otten and M. Mönnigmann
  
• Bifurcation-aware optimization and robust synchronization of coupled laser diodes. Physical Review E, 98:062212, 2018
  J. Otten, Jens Müller, and M. Mönnigmann
  
• A method for the optimization of nonlinear systems with delays that guarantees stability and robustness
  J. Otten and M. Mönnigmann