Bewegende Gap-Solitonen in tiefen periodischen Strukturen mit transversal schneidenden Bändern

• Antragsteller: Professor Dr. Tomas Dohnal, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 253403347

Das Projekt untersucht die Bewegung von koherenten Impulsen in nichtlinearen periodischen Strukturen, z.B. photonischen Kristallen, mit beliebig grossem Kontrast der Periodizität. Bewegende Impulse sind relativ gut mathematisch verstanden in periodischen Strukturen mit einem asymptotisch kleinen Kontrast. Wahre physikalische Strukturen haben aber einen festen endlichen Kontrast. Die mathematisch Analysis für diesen Fall ist deutlich komplizierter.Wir werden, im Besonderen, für die eindimensionale kubisch-nichtlineare Schrödinger-Gleichung und für die kubisch-nichtlineare Wellengleichung bewegende Solitärwellen (bewegende Gap-Solitone) in engen spektralen Lücken, die durch die Störung einer periodischen Struktur mit transversal schneidenden spektralen Bandfunktionen, untersuchen. Die Amplitude der Störung, oder äquivalent, die Breite der Lücke wird die Rolle des kleinen asymptotischen Parameters spielen. Ein Beispiel eines periodischen Mediums mit transversal schneidenden spektralen Funktionen in der Bandstruktur ergeben 'finite-band'-Potentiale.Man erwartet, daß die Transversalität zur Existenz einer ganzen Familie von Gap-Solitonen führt mit einem Intervall von Geschwindigkeiten, die nicht vom asymptotischen Parameter abhängen. Dies steht im Gegensatz zum standard-Fall in Strukturen mit einem beliebeigen Kontrast, wo asymptotisch nah zum Spektrum nur asymptotisch langsame Gap-Solitone bekannt sind.Erstens wird eine asymptotische Einhüllenden-Approximierung von Gap-Solitonen mit Hilfe der Coupled-Mode-Gleichungen gegeben. Die Asymptotik wird dann rigoros rechtfertigt und der Approximationsfehler abgeschätzt für große aber endliche Zeitintervalle. Numerische Rechnungen werden dann die Analysis bestätigen, Beispiele von Gap-Solitonen zeigen und die asymptotische Konvergenzrate kontrollieren. Der zweite, und anspruchsvoller, Teil wird sich mit der Existenz von exakten bewegenden verallgemeinerten Breathers der zwei Gleichungen beschäftigen. Diese Breathers sind bewegende Impulse, deren Form sich periodisch im Raum und Zeit ändert. Abgesehen von vorhandenen Resultaten nur verallgemeinerte Breathers werden erwartet, d.h. Impulse deren Profile sehr nah zu lokalisierten Profilen sind auf sehr langen aber endlichen Raum-Intervallen. Auch hier ist es das Ziel eine Familie von Breathers zu produzieren mit einem Intervall von Geschwindigkeiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Beteiligte Person: Professor Dr. Guido Schneider