Variationelle Techniken in der nichtglatten Optimierung

• Antragsteller: Professor Dr. Tim Hoheisel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 254179842

Endlich und unendlich dimensionale Optimierungsprobleme treten in großer Vielfachheit in angewandten und theoretischen Fragestellungen der Informatik, Natur-, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften auf. Ein häufiges Thema moderner Verfahren, Theorie und Anwendungen ist "Nichtglattheit" (im Sinne von Nichtdifferenzierbarkeit). Nichtglattheiten entstehen hierbei entweder direkt durch die Problemmodellierung oder indirekt durch die variationellen bzw. analytischen Eigenschaften der Optimalwertfunktion und Optimallösungsabbildung. Bekannte Beispiele bei denen Nichtglattheit eine zentrale Rolle spielt sind Optimierungsprobleme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen, Optimierungsprobleme mit "verschwindenden Nebenbedingungen", verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme , Eigenwertoptimierung, robuste Optimierung, "sparse" Optimierung oder auch Maximum-Likelihood-Methoden der robusten Statistik, um nur einige Beispiele zu nennen. Die theoretischen Werkzeuge um Nichtglattheiten zu behandeln sind unter dem Begriff "variationelle Analysis" (engl.: variational analysis) zusammengefasst, was unter anderem konvexe, nichtglatte und mengenwertige Analysis einschließt. Der Schwerpunkt dieses Forschungsprojekts liegt auf Glättungsmethoden, wobei variationelle Methoden sowohl zur Konstruktion als auch Analyse glatter Approximationen nichtglatter Funktionen verwendet werden sollen. Glättungsmethoden stellen eine Klasse von Standardverfahren zur Lösung nichtglatter und restringierter Optimierungsprobleme dar, bei denen eine das Ausgansproblem approximierende Folge nichtrestringierter, glatter Teilprobleme gelöst wird. Die Approximationen werden so konstruiert, dass Häufungspunkte ihrer Lösungen bzw. stationären Punkte wiederum Lösungen bzw. stationäre Punkte des nichtglatten bzw. restringierten Ausgangsproblems sind. Im Rahmen der konvexen Optimerung gibt es derzeit großes Interesse an Glättungsmethoden für Probleme mit extrem vielen Variablen, wobei sich Verfahren erster Ordnung als sehr erfolgreich herausgestellt haben. Für moderat viele Variablen haben andererseits Verfahren zweiter Ordnung, insbesondere halbglatte Newton-Verfahren, viel Aufmerksamkeit erfahren, und diese werden derzeit in der Optimierung mit partiellen Differentialgleichung häufig eingesetzt. Das Projekt betont sogenannte Epi-Glättungsfunktionen, welche auf Epi-Konvergenz für Funktionenfolgen beruhen. Hierbei sollen zwei Themenblöcke bearbeitet werden: Zum Einen sollen Verfahren zweiter Ordnung für die durch infimale Faltung erhaltene Klasse von Epi-Glättungsfunktionen betrachtet werden. Zum anderen soll, angesichts der enormen Bedeutung von Epi-Konvergenz in Funktionenräumen, das Konzept der Epi-Glättungsfunktionen auf unendlich-dimensionale Räume ausgedehnt werden. Zusätzlich zu Epi-Glättungsfunktionen sollen Glättungsfunktionen, die auf Integralfaltung beruhen, betrachtet werden um bestehende Resultate zu verallgemeinern und verschärfen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. James V. Burke