RaSenQuaSI: Randomisierte Erfassung und Quantisierung von Signalen und Bildern

• Antragsteller: Professor Felix Krahmer, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 254873217

In der modernen Signalverarbeitung spielen randomisierte Messverfahren eine immer größere Rolle. Oft ist deren Effizienz deterministischen Verfahren deutlich überlegen. Das bekannteste Beispiel ist das junge Forschungsgebiet Compressed Sensing. Die dieser Theorie zugrunde liegende Beobachtung ist, dass dünnbesetzte Signale -- also Signale, die sich als Linearkombination von nur wenigen Elementen eines gegebenen Repräsentationssystems darstellen lassen -- effizient aus einer kleinen Anzahl an zufällig gewählten linearen Messungen rekonstruiert werden können. Die Compressed-Sensing-Methoden haben bereits in vielen Bereichen wie zum Beispiel Magnetresonanztomographie (MRT), Radar oder FernerkundungAnwendung gefunden. Ein weiteres Beispiel für den Erfolg randomisierter Methoden ist das Problem der Phasenrekonstruktion. Dabei werden nur die Amplituden der Messungen, nicht die Vorzeichen oder Phasen erfasst. Derartige Probleme treten besonders in physikalischen Anwendungen wie der Kristallstrukturanalyse auf.Während in allen diesen Anwendungen ein begrenztes Maß von Zufall in den Prozess eingebaut werden kann, wird eine gewisse Struktur meist von der jeweiligen Anwendung vorgegeben. So werden die Messungen des MRT-Geräts beispielsweise durch Fourierkoeffizienten modelliert, und nur die ausgewählten Frequenzen können zufällig gewählt werden. Derartige randomisierten System mit zusätzlicher Struktur werden in diesem Projekt eine zentrale Rolle spielen.Ein wichtiger Aspekt von besonderer Bedeutung im Projekt befasst sich damit, wie Analog-Digital-Umwandlung in solche Messsysteme integriert werden kann. Damit die Daten von Computern verarbeitet werden können, müssen die Messungen nämlich quantisiert, das heißt durch Symbole eines endlichen Alphabets dargestellt werden. Für Compressed-Sensing-Probleme sind derartige Fragestellungen vor allem für Messungen ohne vorgegebene Struktur betrachtet worden, ein Hauptziel des Projekts wird also sein, anwendungsmotivierte strukturierte Szenarien zu untersuchen. Für Phasenrekonstruktionsprobleme werden derartige Betrachtungen vollkommen neu sein.Weiterhin wurde kürzlich festgestellt, dass bei der Wahl von geeigneten Messungen das Repräsentationssystem, das eine dünnbesetzte Signaldarstellung erlaubt, eine wichtige Rolle spielt. Dieser Zusammenhang soll für verschiedene Messsysteme im Detail untersucht werden.Fur Phasenrekonstruktionsprobleme sind randomisierte Messmethoden bisher nur in Ansätzen erforscht. Das Projekt soll dazu beitragen, Rekonstruktionsgarantien für strukturierte Messsysteme zu entwickeln, aber auch algorithmische Aspekte untersuchen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Person: Professor Rayan Saab, Ph.D.