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RaSenQuaSI: Randomisierte Erfassung und Quantisierung von Signalen und Bildern

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2014 bis 2020
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 254873217
 
Erstellungsjahr 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Emmy-Noether-Nachwuchsgruppe Randomisierte Erfassung und Quantisierung von Signalen und Bildern unter Leitung von Felix Krahmer untersuchte das Zusammenspiel von Struktur und Zufall in Anwendungen der Signalverarbeitung. Das Ziel war zu verstehen wie zufallsgetriebene Designs von Messsystemen zusammen mit geeigneten Rekonstruktionsverfahren beweisbare Rekonstruktionsgarantien ermöglichen. Zentral für den Forschungsplan der Gruppe war eine ganzheitliche Perspektive, die eine zufällige Wahl der Designparameter unter Berücksichtigung der strukturellen Anforderungen der Anwendung mit darauf abgestimmten Rekonstruktionsalgorithmen kombiniert. Die Agenda strukturierte sich in die drei Bereiche Compressive Sensing, Quantisierung und Phasenrekonstruktion. Compressive Sensing untersucht Verfahren für die Rekonstruktion von Signalen, die eine besonders einfache Darstellung erlauben, aus unterbestimmten Messungen. Zu den zentralen Herausforderungen, die die Gruppe erfolgreich angehen konnte, gehören die mathematische Analyse der Rekonstruktionsqualität für verrauschte Daten mit unbekanntem Rauschlevel sowie Rekonstruktionsverfahren, die so effizient sind, dass sie die Rekonstruktion von besonders hochdimensionalen Signalen ermöglichen. In Quantisierungsproblemen werden zusätzlich digitale Darstellungen integriert, wieder unter der Fragestellung, wie gut ein Signal aus den darstellenden Bits rekonstruiert werden kann. Die Gruppe entwickelte die erste fast optimale Fehleranalyse für Sigma-Delta-Quantisierung, eine häufig verwendete Klasse von Quantisierungsverfahren, für ein randomisiertes Compressive-Sensing- System unter Strukturbedingungen, sowie eine der ersten Analysen für zufällig abgetastete Signale mit beschränktem Frequenzbereich. Eine weitere Herausforderung in der Bildgebung im Nanobereich ist, dass nur Intensitäten gemessen werden können und die Phaseninformation verloren geht. Das resultierende Phasenrekonstruktionsproblem wurde sowohl aus einer theoretischen Perspektive, in Hinblick auf die Grenzen der Anwendbarkeit, als auch im praktischen Kontext der Ptychographie untersucht, in welchem ein konkretes Szenario mit mehrfach verschobenen Messöffnungen betrachtet wird. Beispielsweise hat die Gruppe eine Methode entwickelt und analysiert, mit der aus Konditionierungsproblemen und Symmetrien resultierende Einschränkungen überwunden werden können. Aus mathematischer Perspektive führten die behandelten Probleme zu herausfordernden Fragestellungen an der Schnittstelle vieler mathematischer Disziplinen. Die Arbeit der Emmy-Noether-Gruppe kombiniert Techniken der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Optimierung, der Banachraumgeometrie, der Approximationstheorie und der Fourieranalysis. Dabei sind einige der entwickelten Ergebnisse auch von unabhängigem mathematischem Interesse wie zum Beispiel die Charakterisierung der Geometrie von zufälligen Polytopen, die von endlastig verteilten Zufallsvektoren aufgespannt werden.

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