Fehlerkontrollierte Modellordnungsreduktion durch adaptive und kumulative Wahl der Entwicklungspunkte in Krylov-Unterraum-Verfahren

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Boris Lohmann
• Fachliche Zuordnung: Automatisierungstechnik, Mechatronik, Regelungssysteme, Intelligente Technische Systeme, Robotik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 256173540

Ziel des Projekts ist die Entwicklung eines effizienten Krylow-Unterraum-Verfahrens zur Modellordnungsreduktion, welches automatisch und ohne Eingreifen des Anwenders zur Vereinfachung auch sehr großer linearer Zustandsraummodelle eingesetzt werden kann und eine frei vorgebbare Approximationsgüte gesichert einhält.Große mathematische Modelle dieser Art entstehen typischerweise bei der räumlichen Diskretisierung partieller Differentialgleichungen, welche die Beschreibung dynamischer Systeme in verschiedenen ingenieurwissenschaftlichen Domänen erlauben; dieses Vorgehen ist für Simulations-, Regelungs- oder Optimierungszwecke oft unerlässlich. Mit steigenden Ansprüchen an die Genauigkeit des Modells wächst jedoch dessen Dimension, sodass zur Bewältigung der o.g. Aufgaben häufig zunächst eine Modellvereinfachung vorgenommen werden muss. Hierfür wurden in der Literatur zahlreiche Verfahren beschrieben (z.B. das modale oder balancierte Abschneiden, POD und Krylow-Unterraum-Verfahren), welche spezifische Vor- und Nachteile aufweisen. So zeichnet sich beispielsweise das balancierte Abschneiden durch a-priori-Güteinformationen und die Erhaltung von Systemeigenschaften aus, während Krylow-basierte Verfahren geringeren numerischen Aufwand erfordern (hinsichtlich Rechenzeit und benötigten Arbeitsspeichers) und dadurch leichter auf sehr große Originalmodelle anwendbar sind.Ausgehend von einer neuen Formulierung des aus der Reduktion resultierenden Approximationsfehlers sollen nun wesentliche Schwachstellen der Krylov-Unterraum-Verfahren behoben werden. Zu diesen zählt zum einen der mögliche Verlust der Stabilität, der durch geeignete (optimale) Vorgabe der Polstellen vermieden werden kann. Zum andern erfordern rationale Krylov-Unterraum-Verfahren die Wahl sogenannter Shifts (oder Entwicklungspunkte), die nun im Rahmen eines iterativen Frameworks ("Salamitaktik") kumulativ und automatisch erfolgt und -- anders als etablierte Verfahren wie IRKA -- auch die Festlegung der Systemordnung adaptiv vornimmt. Schließlich erlauben Interpolationsverfahren üblicherweise keine Aussagen über die erzielte Reduktionsgüte; neuerdings sind jedoch globale obere Schranken bzgl. gängiger Systemnormen verfügbar, die zumindest für eine gewisse Klasse von Zustandsraummodellen rigorose Fehlerinformationen liefern.Im Rahmen des geplanten Projekts soll dieses Konzept zu einem vollständigen Verfahren weiterentwickelt werden. Zentrale Ziele sind die Automatisierung der kumulativen Entwicklungspunktwahl (die also ohne Eingreifen des Anwenders erfolgen soll), die Minimierung der Überschätzung des tatsächlichen Fehlers durch die oberen Schranken, die Verallgemeinerung auf den Mehrgrößenfall sowie die optimale Anpassung des Verfahrens an Systeme zweiter Ordnung. In Fallstudien (sowohl an akademischen Beispielen als auch im Rahmen von Gemeinschaftsprojekten) erfolgt die Validierung der neuen Methode, auch im Hinblick auf ihre industrielle Verwendbarkeit.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen