Mathematische Methoden zur Untersuchung von Gleichungen komplexer viskoser Fluide

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Jörg Wolf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 256634185

Die mathematische Theorie der Navier-Stokes-Gleichungen wurde von J. Leray in 1934 mit dem Beweis der Existenz von Lösungen im ganzen Raum begründet. Seitdem sind diese Gleichungen eines der meist studierten partiellen Differentialgleichungen und haben wichtige Impulse und Anregungen für verschiedene Zweige der Mathematischen Analysis geliefert. Trotz intensiver Anstrengungen vieler Mathematiker sind eine Reihe fundamentaler Fragen wie zum Beispiel die Frage nach der globalen Existenz und Eindeutigkeit klassischer Lösungen bis heute offen. Das bedeutendste Resultat in diesem Zusammenhang stammt von Caffarelli, Kohn und Nirenberg aus dem Jahre 1984 mit dem Beweis der lokalen Regularität außerhalb einer möglichen Singulärmenge, welche höchstens eindimensional sein kann. Mit dieser wichtigen Arbeit wurde der Grundstein für die Entwicklung einer umfassenden Regularitätstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen gelegt. Allerdings liegt bisher noch keine lokale Regularitätstheorie vor, welche ohne die Existenz einer globalen Druckfunktionen auskommt. In der Tat, wäre eine solche Theorie von großer Bedeutung für die Regularitätsuntersuchungen von Lösungen von Gleichungen inkompressibler Fluide mit abhängiger Viskosität. Das vorliegende Forschungsprojekt soll sich diesem bedeutenden offenen Problem widmen und die mathematische Analysis von Gleichungen komplexer viskoser Fluide substantiell voranbringen. Als wichtige Vorarbeit wird hierfür die vom Antragsteller entwickelte Methode der lokalen Druckprojektion dienen, welche bereits erfolgreich für den Beweis der Existenz schwacher Lösungen von Gleichungen nicht-Newtonscher Fluide eingesetzt wurde. Ein wesentlicher Vorteil dieser Methode besteht in der Möglichkeit, den Druckterm in den lokalen Energieabschätzungen zu eliminieren, was bisher nicht möglich war. Auf dieser Grundlage sollen die folgenden Hautresultate Resultate erzielt werden: 1. Ausdehnung des Satzes von Caffarelli-Kohn-Nirenberg auf Gleichungen nicht-Newtonscher Fluide. 2. Lokale Regularitätskriterien für verallgemeinerte Fluide mit optimaler Abschätzung der Hausdorff-Dimension der Singulärmenge.3. Existenz- und Regularitätstheorie renormalisierter Lösungen für Modelle wärmeleitender Strömungen sowie turbulenter Strömungen nach Prandtl und Kolmogorov. Mit dem vorliegenden Forschungsvorhaben soll eine bedeutende Lücke bezüglich der Regularität schwacher Lösungen von Modellen komplexer viskoser Fluide geschlossen wereden. Ferner erwarten wir wichtige Impulse für andere Gebiete wie zum Beispiel für Probleme mit freien Grenzen, für Gleichungen der Magnetohydrodynamik sowie für das Navier-Stokes-Fourier-System kompressibler Strömungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Tschechische Republik
• Beteiligte Personen: Professorin Dr. Maria Lukacova; Professor Dr. Joachim Naumann; Professorin Dr. Sarka Necasova