Geometrically optimized projection bases for parametric model reduction for large-scale fluid dynamics systems
Final Report Abstract
Inhalt des Projekts war die Entwicklung einer Methode zur adaptiven Modellreduktion von dynamischen Systemen. Hierzu habe ich zusammen mit meinen KooparationspartnerInnen vom MIT speziell projektionsbasierte Modellreduktionstechniken betrachtet. Die Schlüsselidee dieser Ansätze ist die Reduktion der Freiheitsgrade eines diskretisierten dynamischen Systems durch Projektion auf einen niedrigdimensionalen Unterraum. Im Rahmen des Forschungsprojekts wurde ein Verfahren zur Anpassung der Unterräume an geänderte Rahmenbedingungen entwickelt. Die Anpassung wird dabei durch numerische, iterative Lösung eines Optimierungsproblems erreicht, bei dem die zu optimierenden Größen die Unterräume selbst sind. Die Einnahme dieser geometrischen Perspektive stellt die Kernidee des Forschungsprojekts dar. Um die numerische Optimierung hocheffizient durchzuführen, wurde die Zielfunktion des Unterraum-Optimierungsproblems nur in einer geringen Zahl speziell ausgewählter Komponenten ausgewertet. Als Anwendungen wurden ein Problem aus der numerischen Strömungsmechanik, ein Modell zur Simulation der elektrischen Stimulation eines Neurons sowie ein Bildverarbeitungsproblem betrachtet. In den letzten zwei Fällen konnte der Nutzen der Unterraumadaption eindrucksvoll nachgewiesen werden. Im ersten Fall hat sich herausgestellt, dass die Auswahl der Komponenten einen weitaus größeren Einfluss auf die Qualität des zugehörigen reduzierten Modells hat als die nachgeschaltete Unterraumoptimierung. Die Punktselektion selbst ist jedoch mit vergleichsweise hohem Rechenaufwand verbunden. Aus diesem Grund habe ich in der zweiten Hälfte des Bewilligungszeitraums abweichend vom ursprünglichen Forschungsplan an Methoden zur Beschleunigung solcher Punktauswahlalgorithmen gearbeitet. Dabei ist es schließlich gelungen, ein Verfahren zu formulieren, welches sich in Experimenten als um zwei Größenordnungen schneller als die bis dahin bekannte Methode erwiesen hat.
Publications
- An Accelerated Greedy Missing Point Estimation Procedure. SIAM Journal on Scientific Computing, 38(5), A2827–A2850. (24 p.), 2016
Zimmermann, R., Willcox, K.
(See online at https://doi.org/10.1137/15M1042899) - Geometric Subspace Updates with Applications to Online Adaptive Nonlinear Model Reduction. SIAM J. Matrix Anal. & Appl., 39(1), 234–261. (28 pages), 2018
Zimmermann, R., Peherstorfer, B., Willcox, K.
(See online at https://doi.org/10.1137/17M1123286)
