Konvergenz von Partikelverfahren, insbesondere SPH

• Antragsteller: Professor Dr. Holger Wendland
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 262166066

Partikelverfahren stellen eine attraktive und moderne Methode zur numerischen Simulation von Transportproblemen dar. Im Gegensatz zu klassischen Verfahren wie Finite Differenzen, Finite Elemente oder Finite Volumen basieren Partikelverfahren auf einer Lagrangeschen Formulierung des Problems und sind daher besonders geeignet für advektionsdominierte Anwendungen und Probleme mit veränderlicher Topologie. Unter den Partikelverfahren hat gerade in den letzten Jahren die sogenannte SPH-Methode (Smoothed Partikel Hydrodynamics) enorm an Popularität gewonnen. Es handelt sich dabei um ein gitterfreies, kernbasiertes Approximationsverfahren, welches z.B. in so unterschiedlichen Bereichen wie der Astrophysik, der Geo- und Umwelttechnik, im Wasser- und Hafenbau und der Festkörperphysik erfolgreich eingesetzt wird. Obwohl es bereits einige Ansätze gab, fehlt bis heute gerade im Bereich der Strömungsmechanik eine rigorose, mathematische Untersuchung der SPH-Methode. Daher ist es Ziel dieses Antrages, eine Fehlertheorie für die SPH-Diskretisierung der Euler-Gleichungen für reibungsfreie Strömungen herzuleiten. Um eine möglichst große Flexibilität bei der Wahl der zeitlichen Diskretisierung zu erhalten, wird zunächst nur mittels SPH im Raum diskretisiert und das resultierende, semidiskrete System untersucht. Danach werden dann exemplarisch verschiedene, explizite Zeitdiskretisierungen analysiert. Da es in der Literatur verschiedene Varianten des SPH gibt, um räumliche Ableitungen zu diskretisieren, sollen die wichtigsten von ihnen untersucht und gegen einander evaluiert werden. Schließlich soll in einem weiteren Schritt auch die SPH-Diskretisierung der Navier-Stokes Gleichungen für viskose Fluide untersucht werden. Die Fehlerabschätzungen müssen dafür um den durch den diskretisieren Laplace-Operator gegebenen Term erweitert werden. Insgesamt sollen Fehlerabschätzungen bewiesen werden, bei denen besonders auf die Wahl und Abhängigkeit der Diskretisierungsparameter geachtet wird. Bisher werden die Diskretisierungsparameter nur problemabhängig und heuristisch bestimmt. Eine möglichst genaue, mathematisch fundierte Kenntnis des Zusammenhanges zwischen den Diskretisierungsparametern wird daher zu einer signifikanten Verbesserung auch bei der numerische Simulation führen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen