Convergence of particle methods, particularly SPH
Final Report Abstract
Partikelverfahren stellen eine attraktive und moderne Methode zur numerischen Simulation von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen der Strömungsmechanik dar. Im Gegensatz zu klassischen Verfahren wie Finite Differenzen, Finite Elemente oder Finite Volumen basieren Partikelverfahren oft auf einer Lagrangeschen Formulierung des Problems und sind daher besonders geeignet für advektionsdominierte Anwendungen und Probleme mit veränderlicher Topologie. Unter den Partikelverfahren hat gerade in den letzten Jahren die sogenannte SPH-Methode (Smoothed Partikel Hydrodynamics) enorm an Popularität gewonnen. Es handelt sich dabei um ein gitterfreies, kernbasiertes Approximationsverfahren, welches z.B. in so unterschiedlichen Bereichen wie der Astrophysik, der Geo- und Umwelttechnik, im Wasser- und Hafenbau und der Festkörperphysik erfolgreich eingesetzt wird. In diesem Projekt wurden erste signfikante Fehlerabschätzungen für zwei Spezialfälle angegeben, die die Rolle des verwendeten Kerns, seiner Skalierung und der initialen Partikelverteilung studieren. Im Fall eines barotropischen Flusses konnte zum ersten Mal unter genau spezifizierten Annahmen auch punktweise Konvergenz der Partikelbahnen und der anderen relevanten Größen gezeigt werden. Die Analyse hat gezeigt, dass die übliche Annahme, dass der Kern eine Momentenbedingung erfüllt, in der Regel nicht ausreichend ist, um Konvergenz nachzuweisen. Deswegen wurden zusätzliche Bedingungen an den Kern formuliert und hinreichende Charakterisierungen für radiale Kerne hergeleitet. Schließlich konnte gezeigt werden, dass die verallgemeinerten Wendlandfunktionen diese Bedingungen erfüllen.
Publications
- (2018) Convergence of the Smoothed Particle Hydrodynamics Method for a Specific Barotropic Fluid Flow: Constructive Kernel Theory. SIAM J. Math. Anal. (SIAM Journal on Mathematical Analysis) 50 (5) 4752–4784
Franz, Tino; Wendland, Holger
(See online at https://doi.org/10.1137/17M1157696) - A kernel-based discretisation method for first order partial differential equations, Mathematics of Computation 87 (2018), 1757 - 1781
T. Ramming, H. Wendland
(See online at https://doi.org/10.1090/mcom/3265)
