Darstellungszetafunktionen von arithmetischen Gruppen und kompakten analytischen Gruppen

• Antragsteller: Professor Dr. Benjamin Klopsch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 262827805

• Erstellungsjahr: 2017

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das geforderte Projekt ist der Grundlagenforschung auf dem Gebiet der asymptotischen Gruppentheorie zuzuordnen. Der mathematische Begriff einer Gruppe präzisiert das umfassend auftretende Phänomen von Symmetrien und ermöglicht so deren Studium in detaillierter Weise. Ein wichtiges Teilgebiet der Gruppentheorie beschäftigt sich mit linearen Darstellungen von Gruppen, d. h. mit Realisierungen von Gruppen bzw. deren Quotienten als konkrete Matrizengruppen über einem Körper, etwa den komplexen Zahlen. Selbst für ausgewahlte Klassen von Gruppen, wie zum Beispiel ‘halbeinfache’ arithmetische Gruppen, ist die zugehörige Darstellungstheorie, die prinzipiell insbesondere einen Überblick über alle möglichen irreduziblen Darstellungen liefern sollte, schwierig und oftmals in einem technischen Sinne nicht explizit ausführbar. Indem wir Hilfsmittel der Zahlentheorie, geeignete Dirichlet-Erzeugendenfunktionen, einsetzen, können wir die asymptotische Verteilung von Darstellungen solcher Gruppen dennoch erfassen und mit Methoden aus der Analysis, Geometrie und Modelltheorie studieren. Die dabei zu Tage tretenden Darstellungszetafunktionen bilden weitreichende Verallgemeinerungen der bekannten Riemannschen Zetafunktion, die in der Zahlentheorie hinsichtlich der Beschreibung der Verteilung von Primzahlen eine zentrale Rolle spielt. In den vergangenen Jahren hat es sehr interessante Weiterentwicklungen bezüglich Darstellungszetafunktionen von arithmetischen Gruppen und p-adischen Liegruppen gegeben. Ziel des Projektes war es, die zugrundeliegende Definition der Darstellungszetafunktion zu verfeinern und die sich abzeichnende Theorie dadurch wesentlich zu verallgemeinern. Dazu wurden stark zulässigen, unendlich-dimensionalen Darstellungen von kompakten p-adischen Liegruppen geeignete Zetafunktionen zugeordnet. Diese wurden in dem wichtigen Spezialfall, daß die betroffene Darstellung von einer endlich-dimensionalen Darstellung einer kleineren Untergruppe induziert wird, eingehend untersucht. Neben theoretischen Erkenntnissen wurden auch Methoden entwickelt und bereitgestellt, mit denen die betrachteten Zetafunktionen in konkreten Fällen explizit berechnet werden können. Im Rahmen des Projektes wurden konkrete Ziele erreicht, die Teil einer langfristigen Strategie zum Ausbau der asymptotischen Gruppentheorie bilden. Für uns war überraschend, wie elegant sich Darstellungszetafunktionen bisweilen geometrisch über distanz-transitive Wirkungen auf sphärisch homogenen gewurzelten Bäumen beschreiben lassen, völlig unabhängig von der Kirillovschen Bahnenmethode und Techniken aus der Cliffordtheorie.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Positively finitely related profinite groups, Israel J. Math.
  S. Kionke und M. Vannacci
  
• A geometric approach to divergent points of higher dimensional Collatz mappings, Monatsh. Math. 182 (2017), 851–863
  S. Kionke
  
• Zeta functions associated to admissible representations of compact p-adic Lie groups
  B. Klopsch und S. Kionke