Modellprädiktive Regelung für die Fokker-Planck-Gleichung

• Antragsteller: Professor Dr. Lars Grüne
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 264433583

Zur optimalen Steuerung stochastischer Kontrollsysteme finden sich in der Literatur zwei unterschiedliche Ansätze. Der erste, traditionellere, betrachtet die Optimierung von Erwartungswerten. Der zweite Ansatz betrachtet die Optimierung von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen bezüglich eines gegebenen Gütekriteriums, im einfachsten Fall dem Abstand zu einer gegebenen Referenzverteilung. Dieser Ansatz ist mächtiger und vielseitiger, da er es erlaubt, die gesamte statistische Verteilung der zukünftigen Trajektorien zu beeinflussen. Allerdings ist er auch schwieriger zu realisieren. Da die Wahrscheinlichkeitsdichte als Lösung der Fokker-Planck-Gleichung - einer parabolischen partiellen Differentialgleichung (PDG) - ausgedrückt werden kann, ist die Optimierung der Dichtefunktion ein (deterministisches) Optimalsteuerungsproblem mit PDG-Beschränkungen. Durch den in den letzten Jahren erzielten Fortschritt im Bereich der Optimalsteuerung partieller Differentialgleichungen und in der Modellprädiktiven Regelung eröffnen diese Methoden heutzutage einen Weg zur Steuerung von Dichtefunktionen, vgl. die vielversprechenden Resultate in jüngst erschienenen Arbeiten von Annunziato und Borzì. Die Modellprädiktive Regelung (MPC) ist hierbei die Methode der Wahl, weil damit ein Optimalsteuerungsproblem auf langem oder unendlichem Zeithorizont in eine Folge leichter lösbarer Optimalsteuerungsprobleme auf kürzeren Horizonten zerlegt wird. Zwei der wesentlichen Punkte bei der Analyse von MPC Schemata sind die Stabilität und die Regelgüte. Während die "Stabilität" ausdrückt, dass die Dichtefunktion tatsächlich asymptotisch gegen eine vorgegebene Referenzdichte konvergiert, beschreibt die "Regelgüte" den Verlust an Optimalität im MPC Ansatz gegenüber der echten Optimallösung. Letzteres ist insbesondere dann wichtig, wenn die Referenzdichte nicht vorgegeben ist sondern sich implizit aus dem Optimierungskriterium ergibt. Diese Problemstellung hat unter dem Namen ökonomisches MPC jüngst große Aufmerksamkeit in der Literatur erfahren. Ziel des theoretischen Teils dieses Antrags sind rigorose Aussagen über die Stabilität und Regelgüte von MPC für die Fokker-Planck-Gleichung. Die wichtigsten Herausforderungen dabei sind die Schwierigkeiten, die sich durch die unendlichdimensionale PDG-Problemstellung ergeben sowie die Identifizierung struktureller Eigenschaften des zu Grunde liegenden stochastischen Kontrollsystems, unter denen rigorose Aussagen überhaupt möglich sind. Im Kern eines jeden MPC Schemas wird ein schneller und zuverlässiger Algorithmus zur Lösung der Optimalsteuerungsprobleme auf dem kurzem Zeithorizont benötigt. Aus diesem Grund ist die Entwicklung effizienter numerischer Methoden auf Basis geeigneter Optimalitätsbedingungen ein weiteres Ziel dieses Antrags. Diese dienen insbesondere der simulationsbasierten Identifizierung sinnvoller Annahmen für den theoretischen Teil sowie zur Evaluation der Leistungsfähigkeit der entwickelten MPC-Ansätze.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Kooperationspartner: Professor Alfio Borzi, Ph.D.