GRK 2131:  Phänomene hoher Dimensionen in der Stochastik - Fluktuationen und Diskontinuität

• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 265592081

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die zentrale Forschungsidee des GRKs war die Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen bei einer Vielzahl von Strukturen der modernen Stochastik. Die Hochdimensionalität bezog sich hierbei einerseits auf das Vorhandensein vieler verschiedener und miteinander interagierender Komponenten, oder war andererseits mit hohen Raumdimensionen verbunden. Die Leitfrage war, ob sich bei hoher Dimension universelle Strukturen herausbilden und/oder Phasenübergange vorliegen. Die Innovation der Forschungsidee lag in der Bündelung der Fragestellungen zu hohen Dimensionen bei einer Vielzahl unterschiedlicher Objekte der Stochastik und der Fokussierung auf verbindende Methoden. Die Malliavin-Stein-Methode wurde als eine methodische Klammer identifiziert. Der wissenschaftliche Ertrag der Forderung ist messbar durch die thematische Vernetzung, durch viele gemeinsame Projekte, durch über 160 Gaste des GRKs sowie durch Veröffentlichungen und Preprints der Mitglieder des GRKs. In (Ko-)Autorenschaft von Kollegiat(inn)en des GRKs sind 171 Publikationen und sonstige Arbeiten entstanden. Die zentrale Forschungsidee der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen wurde im Rahmen der GRK-Projekte in drei Projektbereichen adressiert. Im Zentrum standen die Untersuchung von Dualitätsrelationen fur Vielteilchensysteme, von Operatoren auf zufälligen geometrischen Objekten und von Konzentrationsphänomenen. Wachsende Dimensionen bei Zufallspolynomen, Zufallsmatrizen und integrablen Systemen sowie die Untersuchung von Querverbindungen zwischen stochastischer Geometrie und geometrischer Analysis unterstreichen einen stattfindenden Perspektivwechsel in den adressierten Forschungsbereich. Weiter wurden aktuelle Entwicklungen in der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen in der mathematischen Statistik in den Fokus genommen. Es erfolgte die Untersuchung von graphischen Modellen für hochdimensionale Daten. Technisch aufwendige Untersuchungen führten zu wichtigen Resultaten, etwa bei der Herleitung von Konvergenzraten von Diffusionen und bei Eigenschaften verschiedener Modelle zufälliger Polytope und Momentenräumen (hochdimensionale Geometrie), bei Markov-Prozessen auf Weyl-Kammern und Spinmodellen auf Baumgraphen und dynamischen Versionen von Meanfield Modellen. Methodisch konnte in Projekten eindrucksvoll die Kraft der Malliavin-Stein-Methode demonstriert werden: so wurden z.B. für innere Volumina zufälliger Polytope mit Malliavin-Stein Konvergenzraten mit expliziter Dimensionsabhängigkeit hergeleitet, es konnten optimale 4-Momente-Theoreme im 2.ten Wiener Chaos bewiesen werden und für von fraktionalen Wellengleichungen getriebenen stochastischen Differentialgleichungen die Herleitung von Grenzwertsätzen und Konvergenzraten mittels Malliavin-Stein erfolgen. Die Untersuchung von Kumulanten hat zu einer Weiterentwicklung der zentralen Forschungsidee geführt. Es wurden optimale Kumulantenabschätzungen für Grenzwertsatze und moderate Abweichungen bei Gaußschen Polynomen und Volumina von zufälligen Simplizes sowie optimale Kumulantenabschätzungen für Zufallsmatrizen-Ensemble und bei zufälligen Momentenräumen hergeleitet. Die Steinsche Methode war eine weitere Brücke in Projekten der statistischen Mechanik. So wurden Modifikationen von Curie-Weiss Modellen erfolgreich untersucht. Große Abweichungen bildeten eine weitere methodische Klammer bei der Untersuchung von Momentenräumen und Zufallsmatrizen-Ensemblen, bei zufälligen Simplizes und bei der Untersuchung dynamischer Varianten der Klasse der Curie-Weiss(-Potts) Modelle.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Ising critical behavior of inhomogeneous Curie-Weiss models and annealed random graphs; Comm. Math. Phys. 348 (2016), 221-263
  S. Dommers, C. Giardina, C. Giberti, R. van der Hofstad und M. L. Prioriello
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00220-016-2752-2)
• A Hamilton-Jacobi point of view on mean-field Gibbs-non-Gibbs transitions (2017)
  R. C. Kraaij, F. Redig und W. B. van Zuijlen
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1711.03489)
• Continuous spin models on annealed generalized random graphs; Stochastic Process. Appl. 127 (2017), 3719-3753
  S. Dommers, C. Külske und P. Schriever
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.03.009)
• Dynamical moderate deviations for the Curie-Weiss model; Stochastic Process. Appl. 127 (2017), 2900-2925
  F. Collet und R. C. Kraaij
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.01.002)
• Flux large deviations of weakly interacting jump processes via well-posedness of an associated Hamilton-Jacobi equation (2017)
  R. C. Kraaij
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1711.00274)
• Hankel Determinants of Random Moment Sequences; J. Theoret. Probab. 30 (2017), 1539-1564
  H. Dette und D. Tomecki
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10959-016-0699-z)
• Metastability for Glauber dyna­mics on random graphs, Ann. Appl. Probab. 27 (2017), 2130-2158
  S. Dommers, F. den Hollander, O. Jovanovski und F. R. Nardi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/16-AAP1251)
• Metastability in the reversible inclusion process ; Electron. J. Probab. 22 (2017), article 70
  A. Bianchi, S. Dommers und C. Giardinä
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/17-EJP98)
• Metastability of the Ising model on random regular graphs at zero temperature; Probab. Theory Related Fields 167 (2017), 305-324
  S. Dommers
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00440-015-0682-0)
• Monotonicity of facets numbers of random convex hulls; J. Math. Analysis Appl. 455 (2017), 1351-1364
  G. Bonnet, J. Grote, D. Temesvari, C. Thale, N. Turchi und F. Wespi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.06.054)
• A generator approach to stochastic monotonicity and propagation of order (2018)
  R. C. Kraaij und M. Schauer
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.10222)
• Approximation of smooth convex bodies by random polytopes; Electron. J. Probab. 23 (2018), article 9
  J. Grote und E. Werner
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/17-EJP131)
• Asymptotic behavior of weighted power variations of fractional Brownian motion in Brownian time; J. Theoret. Probab. 31 (2018), 1539-1598
  R. Zeineddine
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10959-017-0749-1)
• Asymptotics for Random Moment Sequences; Dissertation Ruhr Universitat Bochum (2018)
  D. Tomecki
  
• Concentration and moderate deviations for Poisson polytopes and polyhedra; Bernoulli 24 (2018), 2811-2841
  J. Grote und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.3150/17-BEJ946)
• Deriving GENERIC from a generalized fluctuation symmetry; J. Stat. Phys. 170 (2018), 492-508
  R. C. Kraaij, A. Lazarescu, C. Maes und M. Peletier
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10955-017-1941-5)
• Existence and uniqueness properties for solutions ofa class of Banach space valued evolution equations (2018)
  A. Jentzen, S. Mazzonetto und D. Salimova
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.06859)
• Gaussian polytopes: a cumulant-based approach; J. Complexity 47 (2018), 1-41
  J. Grote und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jco.2018.03.001)
• Large deviations for the annealed Ising model on inhomogeneous random graphs: spins and degrees; J. Stat. Phys. 173 (2018), 1045­1081
  S. Dommers, C. Giardina, C. Giberti und R. van der Hofstad
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10955-018-2027-8)
• Large deviations of the trajectory of empirical distributions of Feller processes on locally compact spaces; Ann. Probab. 46 (2018), 775-828
  R. C. Kraaij
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/17-AOP1192)
• Large scale asymptotics for random convex hulls; Dissertation Ruhr-Universitat Bochum
  J. Grote
  
• Limit theorems for Hilbert-space valued linear processes under long-range de­pendence; Stochastic Process. Appl 128 (2018), 1439-1465
  M.-C. Düker
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.07.015)
• Limit theorems for random polytopes with vertices on convex surfaces; Adv. in Appl. Probab. 50 (2018), 1227-1245
  N. Turchi und F. Wespi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1017/apr.2018.58)
• On the Ito-Alekseev-Grobner for­mula for stochastic differential equations (2018)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler, A. Jentzen und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.09857)
• On the Ito-Alekseev-Grobner for­mula for stochastic differential equations (2018)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler, A. Jentzen und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.09857)
• On the rate of convergence to a Gamma distri­bution on Wiener space (2018)
  E. Azmoodeh, P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1806.03878)
• Path-space moderate deviation principles for the random field Curie-Weiss model; Electron. J. Probab. 23 (2018), article 21
  F. Collet und R. C. Kraaij
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/17-EJP117)
• Path-space moderate deviations for the Curie-Weiss model of self-organized criticality (2018)
  F. Collet, M. Gorny und R. C. Kraaij
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1801.08840)
• Random polytopes: central limit theorems for intrinsic volumes; Proc. Am. Math. Soc. 146 (2018), 3063-3071
  C. Thale, N. Turchi und F. Wespi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1090/proc/14000)
• Strong convergence for explicit space-time discrete numerical approximations for 2D stochastic Navier-Stokes equations (2018)
  S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1809.01937)
• Symmetric weighted odd-power variations of fractional Brownian motion and applications; Commun. Stoch. Anal. 12 (2018), 37-58
  D. Nualart und R. Zeineddine
  (Siehe online unter https://doi.org/10.31390/cosa.12.1.04)
• Universal scaling limits for generalized gamma polytopes (2018)
  J. Grote
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1808.09779)
• Universality in Random Moment Problems; Electron. J. Probab. 23 (2018), article 15
  H. Dette, D. Tomecki und M. Venker
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/18-EJP141)
• A stochastic Gronwall inequality and applica­tions to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, perturbations (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.08727)
• A stochastic Gronwall inequality and appli­cations to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, perturbations (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.08727)
• Asymptotic results for multivariate local Whittle estimation with applications; erscheint in 8th IEEE International Workshop on Computational Advances in Multi-Sensor Adaptive Processing (CAMSAP), (2019)
  M.-C. Düker und V. Pipiras
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1109/CAMSAP45676.2019.9022642)
• Berry-Esseen bounds in the inhomogeneous Curie-Weiss model with external field; Stochastic Process. Appl. (2019)
  S. Dommers und P. Eichelsbacher
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.007)
• Classical large deviations theorems on complete Riemannian manifolds, Stochastic Process. Appl. (2019)
  R. C. Kraaij, F. Redig und R. Versendaal
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2018.11.019)
• Concentration inequalities for functionals of Poisson cylinder processes (2019)
  A. Baci, C. Betken, A. Gusakova und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1908.02112)
• Determinants of block Hankel matrices for random matrix-valued measures; Stochastic Process. Appl (2019)
  H. Dette und D. Tomecki
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.010)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in Curie-Weiss Widom-Row- linson models; Markov Prosess. Related Fields 25 (2019), 379-413
  S. Kissel und C. Külske
  
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in lattice Widom-Rowlinson models with hard-core and soft-core interactions (2019)
  S. Kissel und C. Külske
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09815)
• Existence of spatially differentiable solutions of stochastic differential equations with non-globally monotone coefficient functions (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09707)
• Existence of spatially differentiable solutions of stochastic differential equations with non-globally monotone coefficient functions (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09707)
• Existence, uniqueness, and numerical approximations for sto­chastic Burgers equations (2019)
  S. Mazzonetto und D. Salimova
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.09288)
• Fine asymptotics for models with Gamma type moments and rates of convergence on Wiener Space; Dissertation Ruhr Universitat Bochum (2019)
  L. Knichel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.13154/294-6339)
• Fluctuation symmetry leads to GENERIC equations with non-quadratic dissipation; Stochastic Process. Appl. (2019)
  R. C. Kraaij, A. Lazarescu, C. Maes und M. Peletier
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.001)
• Geometry of'p-balls: Classical results and recent developments; Proceedings of the Conference High Dimensional Probability VIII, Springer, 121-150 (2019)
  J. Prochno, C. Thale und N. Turchi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-030-26391-1_9)
• Gibbs-non-Gibbs transition in the fuzzy Potts models with a Kac-type interaction: Closing the Ising gap; Bernoulli 25 (2019), 2051-2074
  F. Henning, R. C. Kraaij und C. Külske
  (Siehe online unter https://doi.org/10.3150/18-BEJ1045)
• Hard-core and soft-core Widom-Rowlinson models in various geometries; Dissertation Ruhr-Universität Bochum (2019)
  S. Kissel
  
• Hard-Core and Soft-Core Widom-Rowlinson models on Cayley trees; J. Stat. Mech. Theory Exp. (2019)
  S. Kissel, C. Külske und U.A. Rozikov
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1088/1742-5468/ab081e)
• High-dimensional asymptotics for random polytopes; Dissertation Ruhr-Universitat Bochum (2019)
  N. Turchi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.13154/294-6350)
• Limit theorems for multipower variation of Levy driven and fractional-Levy-motion driven processes; Dissertation TU Dortmund (2019)
  A. Pessik
  (Siehe online unter https://doi.org/10.17877/DE290R-20093)
• Limit theorems for multipower variations of Levy driven and fractional Levy-motion driven processes; Dissertation TU Dortmund (2019)
  A. Pessik
  (Siehe online unter https://doi.org/10.17877/DE290R-20093)
• Limit theorems for random simplices in high dimensions; ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 16 (2019), 141-177
  J. Grote, Z. Kabluchko und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.30757/ALEA.v16-06)
• Limit theorems on non-compact Grassmannians with growing dimension; Dissertation TU Dortmund (2019)
  M. Artikov
  (Siehe online unter https://doi.org/10.17877/DE290R-20216)
• Moment estimates of Rosenthal type via cumulants (2019)
  P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.04865)
• On the Ito-Alekseev-Grobner formula for stochastic differentail equations; Dissertation Universität Duisburg-Essen (2019)
  A. Hudde
  (Siehe online unter https://doi.org/10.17185/duepublico/70569)
• On the Ito-Alekseev-Grobner formula for stochastic differential equations ; Dissertation Universität Duisburg-Essen (2019)
  A. Hudde
  (Siehe online unter https://doi.org/10.17185/duepublico/70569)
• Optimal Gamma approximation on Wiener space (2019)
  E. Azmoodeh, P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.02658)
• Random matrix theory for heavy-tailed time series; J. Math. Sciences 237 (2019), 652-666
  J. Heiny
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10958-019-04191-3)
• The isotropic constant of random polytopes with vertices on convex surfaces; J. Complexity (2019)
  J. Prochno, C. Thale und N. Turchi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jco.2019.01.001)
• Threshold phenomena for high­dimensional random polytopes; Commun. Contemp. Math. 21, article 1850038 (2019)
  G. Bonnet, G. Chasapis, J. Grote, D. Temesvari und N. Turchi
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1142/S0219199718500384)
• Concentration inequalities for functionals of Poisson cylinder processes; Electron J. Probab. 25, article 128 (2020)
  A. Baci, C. Betken, A. Gusakova und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/20-EJP529)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in lattice Widom-Rowlinson models with hard-core and soft-core interactions; J. Stat. Phys 178 (2020), 725-762
  S. Kissel und C. Külske
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10955-019-02478-y)
• Likelihood ratio tests for many groups in high dimensions; Journal of Multivariate Analysis 178 (2020): 104605
  H. Dette und N. Dornemann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jmva.2020.104605)
• Limit theorems in the context of multivariate long-range dependence; Stochastic Processes and their Applications 130 (2020), 5394-5425
  M.-C. Düker
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.spa.2020.03.011)
• Random Moment Problems under Constraints; The Annals of Probability 48.2 (2020): 672-713
  H. Dette, D. Tomecki und M. Venker
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/19-AOP1370)
• Stable and metastable phases for the Curie-Weiss-Potts model in vector-valued fields via singularity theory; J. Stat. Phys 181 (2020), 968-989
  C. Külske und D. Meißner
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10955-020-02615-y)
• Block Bootstrapping the Empirical Distance Covariance (2021)
  A. Betken, H. Dehling und M. Kroll
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.14091)
• Central limit theorems for random walks associated with hypergeome­tric functions of type BC. Colloq. Math. 163 (2021), 89-112
  M. Artikov und M. Voit
  (Siehe online unter https://doi.org/10.4064/cm7981-2-2020)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in the Curie-Weiss Potts model in the regime β < 3; J. Stat. Phys 184 Paper No. 15 (2021)
  C. Külske und D. Meißner
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10955-021-02793-3)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in Widom-Rowlinson models on trees; Ann. Henri Poincare (2021)
  S. Bergmann, S. Kissel und C. Kulske
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2012.09718)
• Estimation of stopping times for stopped self-similar random processes. Stat. Inference Stoch. Process. 24 (2021), 477-498
  V. Schulmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s11203-020-09234-0)
• Fine asymptotics for models with Gamma type moments; in Random Matrices Theory Appl., (2021)
  P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1142/S2010326321500076)
• Limit theorems and soft edge of freezing random matrix models via dual orthogonal polynomials. J. Math. Phys. 62 (2021), 083303
  S. Andraus, K. Hermann und M. Voit
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1063/5.0028706)
• Limit theorems for Jacobi ensembles with large parameters. Tunisian J. Math. 3-4 (2021), 843-860
  K. Hermann und M. Voit
  (Siehe online unter https://doi.org/10.2140/tunis.2021.3.843)
• Linear spectral statistics of sequential sample covariance matrices (2021)
  H. Dette und N. Dörnemann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2107.10036)
• Potts models and stochastic dynamics; Dissertation Ruhr-Universitat Bochum (2021)
  D. Meißner
  (Siehe online unter https://doi.org/10.13154/294-7923)
• Statistical guarantees for regularized neural networks; Neural Networks; 142, (2021) 148-161
  M. Taheri, Xie, F. and Lederer, J.
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.neunet.2021.04.034)
• Surface area deviation between smooth convex bodies and polytopes; Adv. Appl. Math. 129, article 102218 (2021)
  J. Grote, C. Thale und E. Werner
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aam.2021.102218)
• The volume of simplices in high-dimensional Poisson-Delaunay tessellations; Ann. H. Lebesgue 4, 121-153 (2021)
  A. Gusakova und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.5802/ahl.68)
• Asymptotic Behaviour of the Empirical Distance Correlation for Dependent Data; Journal of Theoretical Probability 35 (2022), 1226-1246
  M. Kroll
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10959-021-01073-w)
• Cotrending: Testing for common deterministic trends in varying means model; Journal of Multivariate Analysis; 187 (2022), paper 104825
  M.-C. Düker, V. Pipiras und R. Sundararajan
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jmva.2021.104825)
• Likelihood ratio tests under model misspecification in high dimensions (2022)
  N. Dornemann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2203.05423)
• Limit theorems for random points in a simplex; in J. App. Probab. (2022)
  A. Baci, Z. Kabluchko, J. Prochno, M. Sonnleitner und C. Thale
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1017/jpr.2021.77)
• Statistical Guarantees for Approximate Stationary Points of Simple Neural Networks (2022)
  M. Taheri, Xie, F. and Lederer, J.
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.04491)
• Weak convergence of the intersection point process of Poisson hyperplanes; Ann. Inst. H. Poincare (2022)
  A. Baci, G. Bonnet und C. Thäle
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/21-AIHP1201)