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GRK 2131:  High-dimensional Phenomena in Probahility - Fluctuations and Discontinuity

Subject Area Mathematics
Term from 2015 to 2020
Project identifier Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 265592081
 
Final Report Year 2022

Final Report Abstract

Die zentrale Forschungsidee des GRKs war die Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen bei einer Vielzahl von Strukturen der modernen Stochastik. Die Hochdimensionalität bezog sich hierbei einerseits auf das Vorhandensein vieler verschiedener und miteinander interagierender Komponenten, oder war andererseits mit hohen Raumdimensionen verbunden. Die Leitfrage war, ob sich bei hoher Dimension universelle Strukturen herausbilden und/oder Phasenübergange vorliegen. Die Innovation der Forschungsidee lag in der Bündelung der Fragestellungen zu hohen Dimensionen bei einer Vielzahl unterschiedlicher Objekte der Stochastik und der Fokussierung auf verbindende Methoden. Die Malliavin-Stein-Methode wurde als eine methodische Klammer identifiziert. Der wissenschaftliche Ertrag der Forderung ist messbar durch die thematische Vernetzung, durch viele gemeinsame Projekte, durch über 160 Gaste des GRKs sowie durch Veröffentlichungen und Preprints der Mitglieder des GRKs. In (Ko-)Autorenschaft von Kollegiat(inn)en des GRKs sind 171 Publikationen und sonstige Arbeiten entstanden. Die zentrale Forschungsidee der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen wurde im Rahmen der GRK-Projekte in drei Projektbereichen adressiert. Im Zentrum standen die Untersuchung von Dualitätsrelationen fur Vielteilchensysteme, von Operatoren auf zufälligen geometrischen Objekten und von Konzentrationsphänomenen. Wachsende Dimensionen bei Zufallspolynomen, Zufallsmatrizen und integrablen Systemen sowie die Untersuchung von Querverbindungen zwischen stochastischer Geometrie und geometrischer Analysis unterstreichen einen stattfindenden Perspektivwechsel in den adressierten Forschungsbereich. Weiter wurden aktuelle Entwicklungen in der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen in der mathematischen Statistik in den Fokus genommen. Es erfolgte die Untersuchung von graphischen Modellen für hochdimensionale Daten. Technisch aufwendige Untersuchungen führten zu wichtigen Resultaten, etwa bei der Herleitung von Konvergenzraten von Diffusionen und bei Eigenschaften verschiedener Modelle zufälliger Polytope und Momentenräumen (hochdimensionale Geometrie), bei Markov-Prozessen auf Weyl-Kammern und Spinmodellen auf Baumgraphen und dynamischen Versionen von Meanfield Modellen. Methodisch konnte in Projekten eindrucksvoll die Kraft der Malliavin-Stein-Methode demonstriert werden: so wurden z.B. für innere Volumina zufälliger Polytope mit Malliavin-Stein Konvergenzraten mit expliziter Dimensionsabhängigkeit hergeleitet, es konnten optimale 4-Momente-Theoreme im 2.ten Wiener Chaos bewiesen werden und für von fraktionalen Wellengleichungen getriebenen stochastischen Differentialgleichungen die Herleitung von Grenzwertsätzen und Konvergenzraten mittels Malliavin-Stein erfolgen. Die Untersuchung von Kumulanten hat zu einer Weiterentwicklung der zentralen Forschungsidee geführt. Es wurden optimale Kumulantenabschätzungen für Grenzwertsatze und moderate Abweichungen bei Gaußschen Polynomen und Volumina von zufälligen Simplizes sowie optimale Kumulantenabschätzungen für Zufallsmatrizen-Ensemble und bei zufälligen Momentenräumen hergeleitet. Die Steinsche Methode war eine weitere Brücke in Projekten der statistischen Mechanik. So wurden Modifikationen von Curie-Weiss Modellen erfolgreich untersucht. Große Abweichungen bildeten eine weitere methodische Klammer bei der Untersuchung von Momentenräumen und Zufallsmatrizen-Ensemblen, bei zufälligen Simplizes und bei der Untersuchung dynamischer Varianten der Klasse der Curie-Weiss(-Potts) Modelle.

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