Ein einheitliches Framework für Element basierte Summation-by-Parts Operatoren hoher Ordnung auf unstrukturierten Gittern

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Gregor Gassner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 266390124

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Konstruktion und der Analyse einer neuen mathematischen Formulierung, welche verschiedene Verfahren hoher Ordnung zur Approximation von nichtlinearen Advektions-Diffusions-Problemen vereinheitlicht und in einen gemeinsamen algorithmischen Rahmen bringt. Die allgemeine Formulierung umfasst Discontinuous Galerkin (DG), Finite Volumen (FV), Finite Differenzen (FD) und Finite Elemente (FE) Methoden, falls die jeweiligen Operatoren die sogenannte Summation-by-Parts (SBP) Eigenschaft erfüllen. SBP ist das diskrete Analogon zur partiellen Integration und ist ein essentieller mathematischer Baustein um die Stabilität und Konservativität von Verfahren hoher Ordnung zur Approximation von Erhaltungsgleichungen zu zeigen. Wenn ein Operator die SBP Eigenschaft erfüllt, kann man er in eine einheitliche Form gebracht und entsprechend in ein und die selbe Rechenprogrammstruktur implementiert werden. Dabei ist der allgemeine Rahmen dieser Formulierung das DG Verfahren, bei dem die Approximation "innerhalb" der Zelle durch ein anderes Verfahren, wie z.B. ein FD Verfahren, ersetzt wird. Dies ermöglicht einen direkten Vergleich all dieser Verfahren und erlaubt es diese bezüglich ihrer Effizienz zu klassifizieren. Dies ist eine wichtige aktuelle Fragestelle in der "High-Order-Community". Zudem erlaubt die DG Natur der Formulierung eine effiziente Parallelisierung der Methoden und damit eine möglichst effiziente Nutzung der größten Supercomputer. Ein anderes Hauptziel dieses Projektes ist die stabile Verknüpfung dieser Operatoren, die es erlaubt in jeder Zelle ein anderes Verfahren für die Diskretisierung zu verwenden. Dies ermöglicht die gleichzeitige Verwendung von FD, FV, FE und DG in ein und derselben Simulation, all dies basierend auf einer einheitlichen mathematischen Formulierung und einer einheitlichen algorithmischen Implementierung. Diese einheitliche Formulierung eröffnet eine Vielzahl neuer Anwendungsmöglichkeiten. Einige davon werden im zweiten Teil dieses Antrages behandelt, andere, wie etwa die Simulation von Mehrfeldproblemen, sind in der Verlängerung des Antrages vorgesehen. Die erste Idee ist die adaptive Verteilung der Operatoren abhängig von der zugrunde liegenden Lösungsstruktur. Als konkretes Beispiel wird die Berechnung der Aeroakustik einer turbulenten Flügelumströmung betrachtet. Basierend auf der Klassifizierung der Methoden im ersten Teil des Projektes, werden für jeden Bereich (Grenzschicht, Wirbelstrasse, akustischer Wellentransport ins Fernfeld) optimale Diskretisierungen angewendet. Zudem wird am Rand des Gebietes auf FD Verfahren geschaltet für welche reflektionsfreie Randbedingungen vorhanden sind, die für dieses komplexe Beispiel notwendig sind. Dies ist eine weitere mögliche Anwendung dieser einheitlichen Formulierung da bei DG Verfahren solche Randbedingungen bisher nicht zur Verfügung stehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen