Chromatische derivierte algebraische Geometrie und äquivariante Homotopietheorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Topologie studiert qualitative Eigenschaften von geometrischen Gebilden. Dies ist besonders wichtig bei hochdimensionalen komplizierten Gebilden, wo genaue quantitative und metrische Informationen fehlen oder stetigen Veränderungen unterworfen sind. Die algebraische Topologie, der dieses Projekt zugehört, versucht diese qualitativen geometrischen Eigenschaften wiederum algebraisch zu fassen. Die einfachsten algebraischen Invarianten ordnen geometrischen Objekten schlicht natürliche Zahlen zu (beispielsweise die Anzahl von Löchern in einer Fläche). In den letzten dreiÿig Jahren wurden unter den Stichwörter topologische Modulformen und elliptische Geschlechter Invarianten entwickelt, die geometrischen Gebilden Modulformen zuordnen. Diese sind Funktionen mit besonders starken Symmetriebedingungen. Diese sind zwar schwieriger zu berechnen als die älteren Invarianten, erfassen aber auch deutlich mehr Information. Wesentlich wurden diese mathematischen Theorien von Arbeiten von Edward Witten in der String-Theorie inspiriert. In den letzten Jahren wurden verschiedenste Varianten von topologischen Modulformen entwickelt und auf dem verwandten Gebiet von topologischen automorphen Formen ist die Unübersichtlichkeit sogar noch größer. Ein Hauptziel meines Projektes war es, etwas Ordnung in diesen Zoo von verschiedenen Invarianten zu bringen. Im Besonderen konnte ich zeigen, dass viele der komplizierteren Varianten sich in einfachere Varianten zerlegen lassen. Darüber hinaus konnte ich zu wesentlichen Teilen klassizieren, welche dieser Varianten selbst-Dualitäten aufweisen, die die Berechnung vereinfachen.
