Freie Randwertprobleme und Level-Set-Verfahren

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Hintermüller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 271730094

Die Projektarbeit verfolgt drei Ziele: (i) Automatisierte Wahl von Regularisierungsparametern; (ii) Optimierung auf Mannigfaltigkeiten zur Tensorzerlegung; (iii) Kontaktprobleme im Herzen. Die Forschung in der integrierten automatisierten Wahl von Regularisierungsparametern in der Bildverarbeitung konzentriert sich auf zwei Themen: (1) Zweistufige Optimierungsprobleme, die das Rekonstruktionsproblem als Restriktion enthalten, werden analysiert und numerisch gelöst. Die übergeordnete Zielfunktion beruht auf statistisch relevanter Information und hängt vom Regularisierungsparameter und vom unbekannten Bild ab. Diese degenerierten Probleme verlangen moderne Methoden der mehrwertigen Analysis zur Herleitung selektiver Stationaritätsbedingungen und komplexe Lösungsverfahren. (2) Allgemeine Probleminstanzen, die auf Quasi-Gleichgewichten beruhen, werden betrachtet, sobald die Modellierung als zweistufiges Problem nicht möglich ist. Dabei wird der Rekonstruktionsschritt um einen Aufdatierungsschritt für den Parameter erweitert. Dieser beruht auf einer Konfidenzintervalltechnik und statistisch relevanter Information (etwa lokale Residuen). Gemeinsam mit den Projekten INVERSE 2.0 und IMAGE werden diese Techniken auf Bildgebung mittels Diffusionstensoren angewandt. Die Optimierung auf Mannigfaltigkeiten für die Zerlegung von Tensoren höherer Ordnung in Anteile von niedrigem Rang oder dünner Besetztheit erfordert eine Verallgemeinerung des Rangkonzepts und eine Beschreibung der Mannigfaltigkeit von Tensoren mit multilinearem Rang. Dies ist wichtig für die Entwicklung von numerischen Verfahren zur Lösung der zugehörigen Variationsprobleme ohne konvexifizierender Regularisierung. Um rigide Bewegungen zu modellieren, wird eine Parametrisierung betrachtet, die ähnlich zu einem pixelweisen Verschiebungsfeld im Kontext optischer Flussprobleme ist. Die Tensorzerlegung führt zu Kooperationen innerhalb des SFB: Mit INVERSE 2.0 ist einer analytischer und numerischer Vergleich zu PCA/ICA vorgesehen; (ii) mit IMAGE wird eine Zeit-Ort-Regularisierung zur Rekonstruktion oder Bewegungskorrektur betrachtet; (iii) mit MRI wird die Separation von morphologischen und temporalen Strukturen und die Zerlegung von Biomarker-Information untersucht. Um die Verschiebung der atrio-ventrikulären Ebene hinreichend genau zu simulieren, werden Kontaktprobleme für das Epi- und Pericardium betrachtet. Dies ist wichtig für die Ergänzung des elektromechanischen Herzmodells in Projekt HEART. Es wird ein nachgiebiges reibungsloses Kontaktproblem eingeführt, wobei die Nachgiebigkeit von verschiebungsabhängigen Randbedingungen (impliziert durch das Pericardium) für das Epicardium und die Reibungslosigkeit vom Liquor pericardial herrühren. Das resultierende Quasi-Gleichgewichtsproblem wird mittels einer Galerkin-Methode für fast kompressible Materialien und einer sequentiellen Approximation, in der jedes Teilproblem einem Signorini-artigen Kontaktproblem mit rigidem Hindernis ähnelt, gelöst.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Kooperationspartner: Professor Dr.-Ing. Gunther Peichl; Professor Dr. Wolfgang Ring