Homotopie Lie-Theorie: Zweiter Liescher Satz fuer Lie $n$-Gruppoide

• Antragstellerin: Professorin Dr. Chenchang Zhu, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 273215788

Integration und Differentiation bilden ein Paar adjungierter Funktoren zwischen der Kategorie der Lie-Algebren und derKategorie der Lie-Gruppen. Diese Entsprechung von infinitesimalen und globalen Symmetrien ist eines der Fundamenteder modernen Lie-Theorie.Ziel des Projektes ist eine Entsprechung zwischen Lie n-Algebren und Lie n-Gruppen im Sinne der hoeherenHomotopietheorie. Die Motivation ergibt sich aus der Rolle der hoeheren Lie-Theorie in der Stringtheorie, derEichtheorie sowie der Theorie hoeherer Stacks. Es existieren bereits Integrations- und Differentiationsbegriffe inder hoeheren Lie-Theorie, und es gibt mehrere Modelle hoeherer Kategorien von Lie n-Algebren undLie n-Gruppoiden, einige expliziter als andere. Beide Aspekte sind in Anwendungen entscheidend.Es fehlt jedoch ein genaues Verstaendnis der Vertraeglichkeit beider Aspekte. Insbesondere ist offen, wieIntegration und Differentiation sich bezueglich der Struktur der hoeheren Kategorien bzw. der homotopietheoretischenStruktur verhalten.Das Hauptziel dieses Projektes ist es, diese Luecke zu fuellen. In Analogie zum zweiten Lieschen Satz schlagen wirvor, die Vertraeglichkeit mittels Integrations- und Differentiationsfunktoren auszudruecken, welche eine Aequivalenzvon Abbildungsraeumen (statt Abbildungsmengen) von Lie n-Algebren und Lie-n-Gruppen induzieren.Um dieses Ziel zu erreichen, konstruieren wir zuerst eine simpliziale Kategorie von Lie-n-Gruppoiden. Dabeibevorzugen wir explizite Konstruktionen, um Anwendbarkeit in der Differentialgeometrie und mathematischen Physik zugewaehrleisten. Wir vergleichen dieses Modell im Detail mit den Modellen von Schreiber und Pridham. Wir erweiterndie Integrations- und Differentiationsfunktoren von Getzler-Henriques und Severa zu simplizialen Funktoren. Dabeiverwenden wir die kuerzlich von Dolgushev und dem erstgenannten Autor konstruierte simpliziale Kategorie als Modellfuer die hoehere Kategorie der Lie n-Algebren. Unter Verwendung dieser Funktoren zeigen wir eine natuerlicheHomotopieaequivalenz von Abbildungsraeumen, welche die klassische Adjunktion von Lie-Algebren und Lie-Gruppenverallgemeinert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Christopher Rogers, Ph.D.