Newton-Okounkov-Körper algebraischer Varietäten und ihre Anwendungen

• Antragsteller: Dr. David Schmitz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 274229163

Es sollen geometrische Eigenschaften von Newton-Okounkov-Körpern algebraischer Varietäten sowie deren mögliche Anwendungen untersucht werden. Diese konvexen Körper, die Linearsystemen zugeordnet werden können, tragen reichhaltige Informationen über das zugeordnete Linearstem, sind aber nur in einigen Spezialfällen ohne großen Aufwand zu bestimmen. In den letzten Jahren wurden für gewisse Klassen von Varietäten, etwa glatten projektiven Flächen, große Fortschritte erzielt, sowohl was die Beschreibung geometrischer Eigenschaften von Okounkovkörpern als auch deren Bestimmung angeht. Des Weiteren wurden wichtige Anwendungen von Okounkovkörpern vorgestellt, etwa zur Konstruktion von integrablen Systemen, oder zur Bearbeitung klassischer Vermutungen vom Nagata-Typ. Beide Fragestellungen sollen in diesem Projekt bearbeitet werden. Konkret wenden wir uns globalen Okounkovkörpern zu und untersuchen unter welchen Voraussetzungen an die zugrundeliegende Varietät diese gewisse geometrische Eigenschaften, insbesondere rationale Polyedrizität, erfüllen. Es ist bekannt, dass der globale Okounkovkörper einer Varietät, die eine sogenannte Minkowski-Basis zulässt, ein polyedrischer Kegel ist. Der geplante Ansatz zum Nachweis rationaler Polyedrizität besteht daher darin die Existenz einer Minkowski-Basis zu zeigen. Ein Hauptziel dieses Projekts ist es, dies für Mori dream spaces durchzuführen. Unter den Anwendungen von Okounkovkörpern konzentrieren wir uns auf die von D. Anderson beobachtete Existenz einer torischen Degeneration für Varietäten, deren Bewertungshalbgruppe endlich erzeugt ist und streben eine Verbesserung dieses Resultats in der Hinsicht an, den augenscheinlichen Mangel, dass die spezielle Faser der torischen Degeneration nicht notwendigerweise normal ist, zu beheben.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Institution: State University of New York at Stony Brook ; Department of Mathematics
• Gastgeber: Professor Robert Lazarsfeld, Ph.D.