Newton-Okounkov bodies of algebraic varieties and their applications
Final Report Abstract
In den letzten Jahren hat die Konstruktion von Newton-Okounkov-Körpern von pseudo-effektiven Divisoren auf einer normalen projektiven Varietät zunehmend an Aufmerksamkeit gewonnen. Die Idee, die auf die Arbeit von Okounkov zurückgeht und die unabhängig von Kaveh und Khovanskii und Lazarsfeld und Mustata formalisiert wurde, besteht darin, einem pseudo-effektiven Divisor D auf einer n-dimensionalen Varietät X einen konvexen Körper im Rn zuzuordnen, der relevante geometrische Informationen über den Divisor trägt. Die Konstruktion für einen konkreten Divisor D kann erweitert werden zu einer globalen Sichtweise, die alle Divisoren einer gegebenen Varietät gleichzeitig in Betracht zieht. Wir bezeichnen wie üblich den Néron-Severi Vektorraum von reellen numerischen Divisorenklassen mit N1(X)R. Lazarsfeld und Mustata zeigen, dass ein konvexer Kegel ∆Y• (X) im Produktraum Rn × N 1 (X)R existiert, so dass für eine Klasse ξ ∈ N 1 (X) die Faser unter der zweiten Projektion gerade der Körper ∆Y• (ξ) ist. Es zeigt sich allerdings, dass schon die Bestimmung des Newton-Okounkov-Körpers eines einzelnen Divisors sowie die Beschreibung seiner geometrischen Eigenschaften in der Praxis extrem kompliziert ist. Umso mehr ist dies für den globalen Okounkovkörper einer Varietät der Fall. Einen Beitrag zu diesem Problem leistet die Betrachtung von Minkowski-Zerlegungen, die in der gemeinsamen Arbeit des Antragstellers mit P. Luszcz-Swidecka eingeführt wurden. Hier wird die Frage untersucht, ob die Newton-Okounkov-Körper verschiedener Divisoren als Minkowski-Summe endlich vieler unzerlegbarer (im Sinne von Minkowski-Summen) Körper von gewissen Divisoren zerlegt werden können. Ist dies der Fall, nennen wir die Menge der entsprechenden Divisoren eine Minkowski-Basis. Der Vorteil dieser Situation ist, dass sich die Bestimmung von Okounkovkörpern beliebiger Divisoren auf die Kenntnis der Newtono Okounkov-Körper der Basisdivisoren zurückführen lässt. Ein Hauptthema des durchgeführten Projekts war die Frage nach der Existenz von Minukowski Basen für Newton-Okounkov-Körper algebraischer Varietäten sowie Konsequenzen einer solchen Existenz. Die Erwartung des Antragstellers, die bekannten Resultate über torische Varietäten auf Mori dream spaces verallgemeinern zu können, erwies sich als zu optimistisch, weshalb zunächst die grundlegendere Frage möglicher hinreichender Bedingungen für die Existenz einer Minkowski Basis bearbeitet wurde. Es war bereits bekannt, dass für eine Varietät X, die eine Minkowski Basis für eine Fahne Y• zulässt, unter gewissen Voraussetzungen an die Basiselemente der globale Okounkovkörper ∆Y• (X) rational polyedrisch ist. Nun konnte gemeinsam mit W. Sawin gezeigt werden, dass umgekehrt die rationale Polyedrizität des globalen Okounkovkörpers schon die Existenz einer verallgemeinerten Minkowski Basis impliziert. Ein weiterer Gegenstand des durchgeführten Projekts war die sogenannte Komplexitätsfunktion EX,D (x, q) := ∑n,i dim H i (X; OX (nD)) xn qi eines Divisors. Katzarkov und Liu hatten vermutet, dass diese genau dann holonomisch, also im wesentlichen durch endlich viele Daten gegeben sei, wenn zugehörige Newton-Okounkov-Körper polyedrisch seien. Gemeinsam mit M. Fulger konnte gezeigt werden, dass diese Behauptung recht universell falsch ist. Tatsächlich kann für jede Varietät ein birationales Modell gefunden werden, dessen semi-ample Divisoren nicht-polyedrische Newton-Okounkov-Körper besitzen, während solche Divisoren stets holonomische Komplexitätsfunktionen haben.
Publications
- Newton-Okounkov bodies and complexity functions. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 2016
M. Fulger, D. Schmitz
(See online at https://doi.org/10.1016/j.crma.2016.02.004) - On numerical Newton-Okounkov bodies and the existence of Minkowski bases
W. Sawin, D. Schmitz
