Irregularity of algebraic differential equations on varieties in positive characteristic
Final Report Abstract
Dieses Projekt beschäftigte sich mit Verzweigungstheorie in der arithmetischen algebraischen Geometrie. Abstrakt formuliert studiert man in der Verzweigungstheorie, wie sich eine Struktur, die auf einem geometrischen Objekt definiert ist, in der Nähe des Randes des zugrunde liegenden Objekts verhält. Die geometrischen Objekte in diesem Projekt sind glatte algebraische Varietäten über einem Körper positiver Charakteristik, und die studierten Strukturen auf diesen Objekten sind eine Verallgemeinerung des Begriffs eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen; Mathematiker sprechen von stratifizierten Bündeln oder Vektorbündeln mit D-Modulstruktur. In Charakteristik 0 ist ein stratifiziertes Bündel nichts anderes als ein Vektorbündel mit einem flachen Zusammenhang. Diese Objekte wurden seit Mitte des 20. Jahrhunderts sehr genau studiert. Stratifizierte Bündel in positiver Charakteristik haben zum Teil ähnliche formale Eigenschaften; es werden jedoch Phänomene sichtbar, die in Charakteristik 0 nicht auftreten. Ebenso zeigen stratifizierte Bündel formale Ähnlichkeiten zu sogenannten ℓ-adischen Darstellungen, die ebenfalls seit mehreren Jahrzehnten intensiv und erfolgreich studiert wurden. Das Hauptziel dieses Projekts war es, die Verzweigungstheorie von stratifizierten Bündeln in positiver Charakteristik zu verstehen und mit der Verzweigungstheorie von flachen Zusammenhängen in Charakteristik 0 und von ℓ-adischen Garben zu vergleichen. Dieses Ziel wurde zum Teil erreicht. Zwar sind zentrale Fragen aus dem Projektantrag weiterhin offen, doch die Arbeit an diesen Fragen hat andere interessante Resultate hervorgebracht. Zum Beispiel habe ich zusammen mit Giulia Battiston eine Homotopiesequenz für Fundamentalgruppen regulär singulärer stratifizierter Bündel finden können, die eine klassische Version dieser Homotopiesequenz verallgemeinert. Desweiteren war ich in der Lage, einen Satz von Kerz-Schmidt unter bestimmten Voraussetzungen zu verbessern.
Publications
- Lefschetz theorems for tamely ramified coverings. Proceedings of the American Mathematical Society 144 (2016), 5071-5080
Hélène Esnault and Lars Kindler
(See online at https://doi.org/10.1090/proc/13151) - The homotopy sequence for regular singular stratified bundles. 2016. 17 S.
Giulia Battiston and Lars Kindler
- Wild ramification of nilpotent coverings and coverings of bounded degree. 2016: 10 S.
Lars Kindler
