Konvergenzuntersuchungen für diskretisierte Optimalsteuerungsprobleme mit differential-algebraischen Gleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Gerdts
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 280870320

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Anwendungen aus den Naturwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und Ingenieurwissenschaften können mit Hilfe von Optimalsteuerungsproblemen, welche zur Klasse der unendlichdimensionalen Optimierungsprobleme gehören, modelliert werden. Die Dynamik wird dabei häufig durch differential-algebraische Gleichungen (DAEs) dargestellt, welche Bewegungen auf Mannigfaltigkeiten beschreiben. DAEs sind im Allgemeinen implizite Differentialgleichungen und kommen beispielsweise bei der Trajektorienoptimierung für Fahrzeuge, der Bahnplanung für Roboter und der Optimierung von chemischen Prozessen vor. Ziel des Projekts war die Konvergenzanalyse für direkte Diskretisierungsmethoden angewendet auf Optimalsteuerungsprobleme mit DAEs. Resultate dieser Art gab es vor Beginn des Projekts nur für Probleme mit expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese Lücke galt es zu schließen, wobei insbesondere Index-2-DAEs vom großen Interesse waren. Hier erscheinen neue Phänomene im Vergleich zu expliziten Differentialgleichungen und Index-1-DAEs, wie versteckte Nebenbedingungen. Dies erschwert den Nachweis von Konvergenzeigenschaften vor allem im Hinblick auf Optimalsteuerungsprobleme, da hier eine strukturelle Diskrepanz zwischen kontinuierlichen und diskreten notwendigen Bedingungen entsteht. Im Rahmen des Projekts wurden Optimalsteuerungsprobleme mit Index-1- und Index-2-DAEs betrachtet. Des Weiteren wurden notwendige und hinreichende Bedingungen für Hessenberg Systeme mit beliebigem Index hergeleitet. Die Konvergenzanalyse für Probleme mit Index-1-DAEs verlief ohne große Schwierigkeiten, da diese ähnliche Lösungs- und Stabilitätsverhalten aufweisen wie explizite Differentialgleichungen. Dagegen konnte Beweistechniken aus der Literatur nicht ohne weiteres auf Probleme mit Index-2-DAEs angewendet werden. Hier existiert eine strukturelle Diskrepanz zwischen kontinuierlichen und diskreten notwendigen Bedingungen, welche bei Standardbeweistechniken verglichen werden. Diese Diskrepanz galt es zu überwinden, was mit einer geschickten Transformation der diskreten algebraischen Gleichungen gelang, wodurch konsistente diskrete notwendige Bedingungen erzeugt wurden. Dies ermöglichte den Nachweis von Konvergenzeigenschaften für das implizite Euler-Verfahren angewendet auf nichtlineare Index-2-Optimalsteuerungsprobleme mit gemischten Steuer- und Zustandsbeschränkungen sowie Problemen mit reinen Zustandsbeschränkungen erster Ordnung. Außerdem wurde die Konvergenz des impliziten Euler-Verfahrens für linear-quadratische bzw. affine Probleme mit Bang-Bang Steuerung untersucht. Dabei konnte jeweils eine lineare Konvergenzordnung in der L x -Norm für nichtlineare Probleme bzw. in der L 1-Norm für Probleme mit Bang-Bang Steuerung bewiesen werden. Um eine höhere Konvergenzordnung zu erhalten, mussen Runge-Kutta-Verfahren angewendet werden. Für DAEs wird dabei in der Regel die Zeitableitung der algebraischen Variable approximiert. Während des Projekts wurden Verfahren dieser Art untersucht bezuglich Index-1-und Index-2-Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wurde erkannt, dass es besser ist, im Kontext von optimaler Steuerung die algebraische Variable als Steuerung aufzufassen. Dadurch war es möglich, einen Ansatz für Index-1-Probleme zu finden, welcher konsistente diskrete notwendige Bedingungen generiert. An einem Konvergenzbeweis dieses Verfahrens wird noch gearbeitet. Für Index-2-Probleme tritt wiederum eine strukturelle Diskrepanz zwischen kontinuierlichen und diskreten notwendigen Bedingungen auf. Hier konnte bis jetzt keine geeignete Transformation der diskreten algebraischen Gleichungen gefunden werden, welche konsistente notwendige Bedingungen hervorbringen würde.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Convergence Analysis of the Implicit Euler-discretization and Sufficient Conditions for Optimal Control Problems Subject to Index-one Differential-algebraic Equations. Set-Valued and Variational Analysis, Vol. 27, pp. 405–431, (2019)
  Björn Martens, Matthias Gerdts
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s11228-018-0471-x)
• Necessary and Sufficient Conditions for Optimal Control Problems Subject to Hessenberg Differential-Algebraic Equations of Arbitrary Index and Mixed Control-State Constraints. Pure and Applied Functional Analysis, Vol. 4, Nr. 2, pp. 363–387, (2019)
  Björn Martens, Matthias Gerdts
  
• Convergence Analysis for Approximations of Optimal Control Problems Subject to Higher Index Differential-Algebraic Equations and Mixed Control-State Constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 58, pp. 1–33, (2020)
  Björn Martens, Matthias Gerdts
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/18M1219382)
• Error analysis for the implicit Euler discretization of linearquadratic control problems with higher index DAEs and bang-bang solutions. T. Reis, S. Grundel, S. Schöps (Eds.), Progress in Differential-Algebraic Equations II, Springer, (2020)
  Björn Martens, Matthias Gerdts
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-030-53905-4_10)
• Convergence Analysis for Approximations of Optimal Control Problems subject to higher Index Differential-Algebraic Equations and Pure State Constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 59, pp. 1903–1926, (2021)
  Björn Martens, Matthias Gerdts
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/20M1353952)
• Error Analysis for the implicit Euler discretization of affine Optimal Control Problems with Index Two DAEs, Pure and Applied Functional Analysis, Vol. 6, Nr. 6, pp. 1383–1414 (2021)
  Björn Martens, Christopher Schneider