Produkte von Zufallsmatrizen: von neuen Resultaten zu Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Gernot Akemann
• Fachliche Zuordnung: Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder ; Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 281545347

• Erstellungsjahr: 2018

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Dieses Projekt beschäftigt sich mit einem Teilgebiet der mathematischen Physik, der Theorie der Zufallsmatrizen und deren Anwendungen. Zufallsmatrizen sind Matrizen, deren Einträge im einfachsten Fall unabhängige Zufallsvariablen sind, die typischerweise gaußverteilt sind. Auch in diesem einfachen Fall sind der Eigenwerte der Zufallsmatrizen nicht mehr unabhängig. Sie verhalten sich wie elektrisch geladene Teilchen, die sich unter der Coulombwechselwirkung in zwei Dimensionen bei bestimmter Temperatur abstoßen, sogenannte Punktprozesse. Dieses Verhalten läßt sich mathematisch rigoros beschreiben. Im Limes unendlich großer Matrizen folgen diese Wechselwirkungen der Eigenwerte (=geladenen Teilchen) universellen, deterministischen Gesetzen. Dasselbe Verhalten findet sich in vielen Anwendungen wie der Elementarteilchen- oder der Festkörperphysik wieder. Die folgenden Fragestellungen sind in diesem Projekt untersucht worden. Welche Abstoßungsgesetze ergeben sich für Produkte von solchen Zufallsmatrizen und wie verändern Korrelationen zwischen den Matrixelementen beziehungsweise zwischen verschiedenen Matrizen deren Verhalten? Eine der Anwendungen von solchen Produkten ist die Zeitentwicklung chaotischer Systeme, wobei jeder Zeitschritt durch eine einzelne Matrixmultiplikation gegeben ist. Diese Fragestellung geht zurück zu den Anfängen der Zufallsmatrixtheorie in den sechziger Jahren. Exakte Ergebnisse für endliche Produkte von Matrizen endlicher Größe sind erst in den letzten Jahren erzielt worden. In einem unserer Resultate haben wir herausgefunden, dass Korrelationen es erlauben, im Limes unendlich großer Matrizen kontinuierlich zwischen dem Produkt von m — 1 und m Matrizen zu interpolieren. Damit können wir für endlich viele Produkte eine Art kontinuierliche Zeitentwicklung für solche chaotische Systeme darstellen. Ein zweites, mathematisches Resultat betrifft den Zusammenhang zwischen verschiedenen Punktprozessen. Wenn Matrizen multipliziert werden, hat die Produktmatrix typischerweise weniger Symmetrie als die einzelnen Matrizen. Bei der Beschreibung der Produktmatrix gibt es deswegen zwei verschiedene Möglichkeiten, die Betrachtung der sogenannten Singulärwerte, diese sind reell und positiv, oder die Betrachtung der Eigenwerte, die mangels Symmetrie im Allgemeinen in der komplexen Ebene liegen. Es ist eine klassische Fragestellung aus der linearen Algebra, wie diese beiden Beschreibungsweisen zusammenhängen. Für bestimmte Klassen von Zufallsmatrizen konnte hier ein eindeutiger Zusammenhang hergestellt werden zwischen den Statistiken dieser beiden Beschreibungen. Hieraus ergibt sich eine wesentliche Erweiterung der Klasse der exakt lösbaren Zufallsmatrixmodelle, auf deren Anwendungen wir gespannt sein dürfen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Polynomial Ensembles and Pólya Frequency Functions
  Y.-P. Förster, M. Kieburg und H. Kösters
  
• Hard edge limit of the product of two strongly coupled random matrices. Nonlinearity 29, 3743-3776 (2016)
  Gernot Akemann und Eugene Strahov
  
• Shift of Symmetries of Naive Fermions in QCD-like Lattice Theories. Physical Review D 96, 034502 (2017)
  Mario Kieburg und Tim Robert Würfel
  
• Finite rank perturbations in products of coupled random matrices: From one correlated to two Wishart ensembles. Annales de l’Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques
  Gernot Akemann, Tomasz Checinski, Dang-Zheng Liu und Eugene Strahov