Produkte von Zufallsmatrizen: von neuen Resultaten zu Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Gernot Akemann
• Fachliche Zuordnung: Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder ; Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 281545347

Zufallsmatrizen bieten eine sehr effiziente Beschreibung der Spektralstatistik von Operatoren, die wichtige Beitraege durch Rauschen oder Fluktuationen erhalten. Sie haben zu tiefgreifenden Einsichten in ihren Anwendungen in der Physik und Mathematik gefuehrt, z.B. in die Natur des Vorzeichenproblems in der Quantenchromodynamik oder in die Nullstellenverteilung der Riemannschen zeta-Funktion sowie deren Verallgemeinerungen. Typischerweise ist die genaue Verteilung der Matrixelemente unwichtig und kann als gaussch gewaehlt werden. Diese Tatsache wird als Universalitaet bezeichnet. Weitreichende Methoden sind entwickelt worden, um rigorose Universalitaetsbeweise fuer die Spektralstatistik einzelner Zufallsmatrizen zu fuehren. Produkte mehrerer Zufallsmatrizen spielen beispielsweise eine wichtige Rolle in der Beschreibung chaotischer Dynamik oder von Transport in der Physik. In der Mathematik geniessen sie z.B. eine tiefgehende Beziehung zu Verallgemeinerungen der Katalanzahlen in der Kombinatorik. Die exakte Loesbarkeit von beliebig vielen Produkten unabhaengiger Zufallsmatrizen ist erst kuerzlich in einer Reihe von Arbeiten mit meinen Kollegen etabliert worden. Dies hat die Moeglichkeit eroeffnet, die Universalitaet solcher Produkte zu zeigen sowie die detaillierte Verteilung von Lyapunovexponenten zu analysieren. Allerdings sind in Anwendungen die Matrizen, die multipliziert werden, nicht unbedingt unabhaengig. Im oben erwaehnten Beispiel der Quantenchromodynamik ist die Kopplung der beiden von der chiralen Struktur resultierenden Matrizen durch ein chemisches Potential von entscheidender Wichtigkeit. In diesem Antrag schlagen wir deshalb vor, Produkte von gekoppelten Zufallsmatrizen zu studieren. Unser erstes Hauptziel wird sein, deren exakte Loesbarkeit in Form eines determinantalen oder pfaffschen Punktprozesses zu etablieren. Fuer die Singulaerwerte wird dies Anwendung finden im mikroskopischen Spektrum des Diracoperators von Quantenfeldtheorien mit grossem chemischen Potential fuer den Isospin. Gleichzeitig werden diese Ergebnisse zu parameterabhaengigen Deformationen der klassischen Laguerre-Polynome fuehren, sowie zu neuen universellen Verteilungen. Ferner wird die Loesung fuer komplexe Eigenwerte zu einer erweiterten Klasse nichttrivialer orthogonaler Polynome in der komplexen Ebene fuehren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel, Japan
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Taro Nagao; Professor Dr. Eugene Strahov