Projektive Geometrie, Invarianten und Momentum

• Antragsteller: Dr. Valdemar Tsanov
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 282475916

Gegenstand der Studie sind geometrische Räume mit vielen Symmetrien. Insbesondere werden Einbettungen solcher Räume und lineare Darstellungen der Symmetriegruppen untersucht. Es ist bekannt, dass die Klasse der halbeinfachen komplexen Lie-Gruppen genau die Klasse der linearen Automorphismengruppen von homogenen projektiven Varietäten ist. Letztere werden Fannenvarietäten genannt. Die irreduziblen Darstellungen einer halbeinfachen Gruppe auf endlichdimensionalen Vektorräumen befinden sich in Bijektion mit den projektiven Einbettungen ihrer Fahnenvarietäten. Die Gruppe operiert auf dem Polynomring des Vektorraums. Die invarianten Polynome bilden einen Unterring - das grundlegende Objekt der Invariententheorie. Der Invariantenring steht in Zusammenhang mit der Momentumabbildung bezüglich einer maximalen kompakten Untergruppe der Symmetriegruppe. Das Zusammenspiel von Darstellungen, Invarianten, Momentumabbildungen und der projektiven Geometrie der Fahnenvarietäten ist der Forschungsinhalt des ersten Teils dieses Projektes. So gibt es eine bemerkenswerte Beziehung zwischen linearen Spannen im Darstellungsraum und konvexen Hüllen im Momentumbild. Auf natürliche Weise führt dies zum Begriff von Sekantenvarietäten von Fahnenvarietäten. Diese klassischen Objekte wurden noch nicht systematisch im Kontext der Momentumabbildungen untersucht. Ich habe vor eine solche Studie durchzuführen. Ein anderes zentrales Thema der Darstellungstheorie ist das Zerlegungsproblem. Hierbei betrachtet man eine Einbettung von Gruppen und fragt sich wie sich die Darstellungen der größeren Gruppe bezüglich der Untergruppe zerlegen. Dies kann im Rahmen der Geometrischen Invariantentheorie interpretiert werden. Das Zerlegungsproblem hat zwei Aspekte: den lokalen, bei dem man Saturierungskoeffizienten betrachtet, und den globalen, bei dem man ein einzelnes Objekt sucht, welches die komplette Zerlegungsregel für eine bestimmte Einbettung kodiert. Objekte, die globale asymptotische Informationen über Multiplizitäten enthalten, wurden unlängst von Seppänen in Form von Okounkov-Körpern von Hilbert-Quotienten eingeführt. Viele ihrer Eigenschaften sind unbekannt. Eine Untersuchung über Hilbert-Quotienten und der Interaktion von lokalen und globalen Phänomenen der Zerlegungsregel wird ein wesentlicher Teil des Projektes. Das Thema des zweiten Teils des Projektes sind reelle halbeinfache Lie-Gruppen. Hier werden Momentumabbildungen durch Gradientenabbildungen ersetzt. Im Kontext von Gradientenabbildungen auf Darstellungsräuren möchte ich Konvexität und Sphärizität untersuchen. Gradientenabbildungen finden auch bei der Untersuchung der Geometrie der Bahnen reeller Formen in komplexen Fahnenvarietäten Anwendung. Ich werde mich auf Symmetralen in hermiteschen symmetrischen Räumen konzentrieren. Diese stehen im Zusammenhang zu diskreten Gruppen. Ich bin dabei besonders an einer bestimmten Art von hypergeometrischen Gruppen interessiert, die kürzlich von Brav und Thomas konstruiert wurde.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen