Standard objects, filtered categories and representations of boxes

• Applicant: Professor Dr. Steffen Koenig
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2015 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 282852568

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Standardobjekte sind in vielen algebraischen oder geometrischen Kategorien C von Bedeutung, zum Beispiel als Weylmoduln oder Vermamoduln in der Lie-Theorie oder in exzeptionellen Folgen in der algebraischen Geometrie. Nach dem Standardisierungssatz von Dlab und Ringel gibt es dann immer eine quasi-erbliche Algebra A, so dass die Kategorie der Moduln mit Standardfiltrierung über A äquivalent ist zur Kategorie der standardfiltrierten Objekte in der gegebenen Kategorie C. Jede solche Kategorie F(∆) ist die Kategorie von Darstellungen einer Box. Die quasi-erbliche Algebra A kann aus der Box rekonstruiert werden, bis auf Morita-Äquivalenz. Diese Box ist nicht eindeutig. Ein Hauptergebnis dieses Projekts ist aber, dass es zu jeder Kategorie F(∆) genau eine reguläre Box gibt. Dies ist optimal, weil bei regulären Boxen ein zusätzlicher Isomorphismus in der Kohomologie gilt. Der Beweis der Eindeutigkeit beruht auf einer sehr detaillierten Untersuchung der A∞-Struktur auf Erweiterungen zwischen Standardobjekten; hierbei wird auch gezeigt, dass nur höhere Multiplikationen benötigt werden, die in den Graden null, eins oder zwei enden. Boxen und A∞-Strukturen wurden in diesem Projekt auch eingesetzt, um Darstellungstypen von F(∆) zu bestimmen und um Ringel-duale Algebren zu beschreiben, insbesondere in geometrischen Situationen. Allgemein wurde der Übergang von einer quasi-erblichen Algebra zu ihrem Ringeldualen in der Sprache der Boxen beschrieben. Ausserdem wurden Erweiterungen und Verallgemeinerungen der Zuordnung zwischen Kategorien F(∆) und Darstellungen von Boxen diskutiert.

Publications

• Higher Nakayama algebras I: Construction
  Gustavo Jasso and Julian Külshammer
  
• In the bocs seat: quasi-hereditary algebras and representation type. Representation theory – current trends and perspectives, 375–426, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich, 2017
  Julian Külshammer
  
• Nakayama-type phenomena in higher Auslander-Reiten theory. Representations of algebras, 79–98, Contemp. Math., 705, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018
  Gustavo Jasso and Julian Külshammer
  
• Ringel duality as an instance of Koszul duality. J. Algebra 506 (2018), 129–187
  Agnieszka Bodzenta and Julian Külshammer