Analysis chemotaktischer Kreuz-Diffusion in komplexen Zusammenhängen

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Winkler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 288366228

In den vergangenenen Jahren hat eine rapide anwachsende Literatur zu grundlegenden Modellen für Chemotaxis-Prozesse ein beträchtliches Wissen über mathematische Eigenschaften solcher Systeme partieller Differentialgleichungen hervorgebracht, wobei die umfassendsten Ergebnisse in solchen Situationen erzielt werden konnten, in denen die Verfügbarkeit entsprechender funktionalanalytischer Hilfsmittel die Konstruktion globaler Lösungen ermöglichen.Das Ziel des vorliegenden Projektes besteht in der Analysis von Systemen von Evolutionsgleichungen, in denen die charakteristische Komponente der chemotaktischen Kreuz-Diffusion in komplexere Zusammenhänge eingebettet ist. Diese können sich entweder in modifizierten mathematischen Strukturen bezüglich des Wechselspiels von Kreuz-Diffusion mit Diffusion und der Evolution der Signalsubstanz manifestieren, oder aber auch in Wechselwirkungen mit weiteren Komponenten und Mechanismen; ein besonderer Schwerpunkt wird hier auf Chemotaxis unter dem Einfluss von Proliferationstermen logistischer Art sowie auf Chemotaxis-Systeme in Kopplung an die (Navier-)Stokes-Gleichungen der Fluiddynamik gelegt werden.Einen die gesamte Projektarbeit durchziehenden roten Faden bildet mit Blick auf ihre entscheidende Rolle für das Verständnis des destabilisierenden Potentials chemotaktischer Kreuz-Diffusion die Untersuchung der Frage, inwieweit verschiedene Typen von Taxis-Mechanismen das Auftreten explodierender Lösungen erzwingen können; obwohl im Hinblick auf spontane Strukturbildung solche "Blow-up"-Phänomene gemeinhin als die frappierendste und im Wesentlichen omnipräsente mathematische Eigenschaft von Chemotaxis-Systemen angesehen werden, ist ihr rigoroser Nachweis bislang auf sehr spezielle Konstellationen beschränkt. Mit dem perspektivischen Ziel einer Anwendbarkeit auf komplexere Modelle und damit auf realistischere Situationen liegt eine Intention des Projektes in der Entwicklung neuer und robuster Techniken zum Nachweis und zur Analysis von Eigenschaften explodierender Lösungen in Chemotaxis-Systemen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen