Das Übertragungsprinzip der Integralgeometrie und isoperimetrische Ungleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Wannerer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 289866435

Eine der bemerkenswertesten Einsichten der klassischen Integralgeometrie ist das Übertragungsprinzip von Howard, das es gestattet gewisse kinematische Formeln wortwörtlich zwischen homogenen Räumen zu übertragen, sofern die Räume die gleiche Dimension und isomorphe Isotropiegruppen besitzen. Damit lassen sich zum Beispiel die klassischen integralgeometrischen Formeln des euklidischen Raumes mühelos auf die Sphäre und den hyperbolischen Raum übertragen. Die bahnbrechenden Arbeiten von Alesker in der Theorie der Bewertungen sind der Ausgangspunkt für die neuesten Entwicklungen in der Integralgeometrie. Erst vor kurzem wurde gezeigt, dass die in integralgeometrischen Formeln auftretenden Konstanten nichts anderes sind als Strukturkonstanten von Algebren invarianter Bewertungen. Im Rahmen von Aleskers Theorie der Bewertungen auf Mannigfaltigkeiten wird Howards Übertragungsprinzip zur Vermutung, dass unter gewissen Voraussetzungen die Algebren von invarianten Bewertungen isomorph sind. Bernig, Fu und Solanes haben dies für komplexe Raumformen bestätigt. Ein Schwerpunkt dieses Projektes liegt auf der Erforschung des vermuteten Übertragungsprinzips. Insbesondere soll untersucht werden, ob es auch für exzeptionelle isotrope Räume Gültigkeit besitzt.Die klassische Integralgeometrie ist eng verknüpft mit dem Studium geometrischer Variationsprobleme und isoperimetrischer Ungleichungen für die inneren Volumina oder Quermassintegrale. Diese Ungleichungen und die fundamentalen Aleksandrov-Fenchel-Ungleichungen haben Anwendungen inund Verbindungen zu zahlreichen Teilgebieten der Mathematik. In niedrigen Dimensionen folgen manche dieser Ungleichungen sogar direkt aus den kinematischen Formeln. Die rasante Entwicklung der Integralgeometrie der letzten Jahre und insbesondere die vollständige Bestimmung der kinematischen Formeln in komplexen Raumformen, haben den Weg für die Entdeckung von neuen (und potentiell äußerst nützlichen) Ungleichungen in komplexen Vektoräumen bereitet. Die bisher entdeckten Ungleichungen scheinen erst die Spitze eines Eisberges zu sein. Ein weiteres Ziel dieses Projektes ist die systematische Untersuchung und Entdeckung neuer isoperimetrischer Ungleichungen in komplexen Vektorräumen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Kanada, Österreich
• Kooperationspartner: Dmitry Faifman; Professor Dr. Franz Schuster