Neue Perspektiven auf der kanonischen Dimension

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Olivier Haution
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 298978788

Rationale Punkte auf algebraischen Varietäten stellen Lösungen polynomialer Gleichungen mit Koeffizienten in einem bestimmten Körper dar. Viele Fragen über quadratische Formen, zentrale einfache Algebren, sowie allgemein Galois-Kohomologie Mengen können als Frage über die Existenz rationaler Punkte auf projektiven homogenen Varietäten umformuliert werden. Die kanonische Dimension bemisst, wie weit eine Varietät davon ist, einen rationalen Punkt zu haben. Aus diesem Grund liefert die Berechnung kanonischer Dimension nützliche Informationen über quadratische Formen und zentrale einfache Algebren. Dieses Konzept wurde bisher meistens im Rahmen projektiver homogener Varietäten benutzt. Die kanonische Dimension wird oft durch von der algebraischen Topologie inspirierte Methoden, insbesondere kohomologische Operationen oder motivische Zerlegungen, berechnet.Das Projekt wird sich in folgenden Richtungen entwickeln: (a) Die kanonische Dimension und die entsprechende Methoden in neuen Kontexten, ausserhalb des Rahmens projektiver homogener Varietäten, zu verwenden. Diese Methode könnten immer dann nützlich sein, wenn rationale Punkte gesucht werden. Diese Situation ist natürlich nicht auf projektive homogene Varietäten begrenzt, und ist in der ganzen arithmetischen Geometrie üblich. (b) Methoden von anderen Teilen der algebraischen Geometrie zu verwenden, um die kanonische Dimension algebraischer Varietäten zu berechnen. Beispiele sind Methoden von der klassischen algebraischen Geometrie, die oft in der arithmetischen Geometrie verwendet werden, oder Chow-Witt Gruppen, die jetzt meistens für projektive Moduln verwendet werden.Folgende konkrete Frage werden untersucht werden: (1) Hat die Wirkung einer p-Gruppe auf dem affinen Raum über einen Körper der Charakteristik ungleich p immer einen rationalen Fixpunkt? (2) Die kanonische Dimension von den Severi-Brauer Varietäten zu berechnen. (3) Neue Informationen über die Zerfällung von quadratischen Formen zu erhalten. (4) Eine quadratische Verallgemeinerung der Serre'schen Verschwindungsvermutung zu beweisen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen