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Projekt
Präasymptotische Fehleranalyse für Funktionsrekonstruktionsprobleme in hohen Dimensionen
Antragsteller
Professor Dr. Tino Ullrich
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2016 bis 2021
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 299251995
Viele Anwendungen aus den Ingenieurs- und Naturwissenschaften sowie der Statistik erfordern die Inter- oder Extrapolation von Daten. Mathematisch gesehen besteht das Problem darin, eine Funktion zu finden, die diese Daten abbildet. Das vorgeschlagene Forschungsvorhaben beschäftigt sich mit der präasymptotischen Fehleranalyse solcher Rekonstruktionsprobleme für hochdimensionale Daten. Zwei verschiedene Arten von Modellannahme liegen den in diesem Projekt studierten Rekonstruktionsproblemen zugrunde: einerseits die Annahme beschränkter gemischter Ableitungen und Verallgemeinerungen davon, die im Zusammenhang mit der elektronischen Schrödingergleichung und Dünngitter-Verfahren auftreten; andererseits, die Annahme strukturierter funktionaler Abhängigkeiten, die Basis vieler Modelle der semiparametrischen Statistik und des maschinellen Lernens sind.Schwerpunkt des Forschungsvorhabens sind präasymptotische Schranken für Worst-Case-Fehler und das Design optimaler Algorithmen unter einer der oben genannten Modellannahmen. Abschätzungen für Worst-Case-Fehler sind zentraler Bestandteil der Analyse von Approximations- und Rekonstruktionsmethoden. Vorausgesetzt, die Modellannahmen sind zutreffend, liefern Worst-Case-Fehlerschranken die zuverlässigste Abschätzung, die a-priori erreicht werden kann. Gleichzeitig erlauben Schranken für Worst-Case-Fehler tiefe Einsichten in die fundamentalen Beschränkungen von Approximations- und Rekonstruktionsverfahren.Für die im Rahmen des Forschungsvorhabens betrachteten Rekonstruktionsprobleme sind asymptotische Fehlerschranken in der Regel seit langer Zeit bekannt. Sind die vorliegenden Daten von hochdimensionaler Natur, stellen sich asymptotische Schranken allerdings häufig als nutzlos heraus. Einer der Gründe liegt darin, dass die asymptotischen Fehlerschranken nur für Datenmengen greifen, die exponentiell mit der Dimension der Daten wachsen müssen. Die Erhebung solch großer Datenmengen ist meistens unpraktikabel. An dieser Stelle kommt präasymptotischen Fehlerschranken eine entscheidende Bedeutung zu. Sie erlauben Fehlerabschätzungen für Datenmengen von praktisch realisierbarer Größe. Ein weiterer wichtiger Aspekt präasymptotischer Schranken ist die Bestimmung der Komplexität des Rekonstruktionsproblems. Präasymptotiken erlauben zu ermitteln, ob der Fluch der Dimension vorliegt.Die rigorose Bestimmung präasymptotischer Worst-Case-Fehlerschranken wird sich fundamentaler Konzepte der Approximationstheorie und der Funktionalanalysis bedienen. Besonders hervorzuheben ist das Konzept der metrischen Entropie. Metrische Entropie bzw. Entropiezahlen sind wesentlicher Bestandteil der Carlschen Ungleichung, von Konzentrationsungleichungen für empirische Prozesse sowie einer neuen Methode zur Charakterisierung von Worst-Case-Fehlern, die vom Antragsteller und Koautoren entwickelt wurde. Alle drei Sachverhalte werden als wichtiges Werkzeug dienen, um obere und untere Schranken für Worst-Case-Fehler zu beweisen.
DFG-Verfahren
Sachbeihilfen
Internationaler Bezug
Frankreich, Vietnam
