Über Asymptotiken von Produkten von Spektralprojektionen und deren Anwendung auf Andersons Orthogonalität und Verschränkungsentropie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Gegenstand des Forschungsstipendiums waren Differenzen von Spektralprojektionen von Schrödingeroperatoren. Genauer gesagt sollten Spektralasymptotiken dieser Differenzen gefunden werden und damit unter anderem das Verhalten des Winkels zwischen verschiedenen quantenmechanischen Vielteilchengrundzuständen im thermodynamischen Limes bestimmt werden, wenn sich die Systeme nur durch eine lokale Störung unterscheiden. Dies wird in der Literatur Andersons Orthogonalität genannt. Dabei konnte im Zuge des Forschungsstipendiums das Problem von Andersons Orthogonalität in einem Zufallsfeld gelöst werden und überraschenderweise gezeigt werden, dass diese auch im lokalisierten Bereich des Spektrums auftreten kann. Diese Betrachtungen verselbstständigten sich in erfolgreicher Weise und mündeten letztendlich in einem weiteren Projekt, in dem eine positive untere Abschätzung an die Zustandsdichte zufälliger Schrödingeroperatoren im Kontinuum für Energien im lokalisierten Bereich gefunden wurde. Bezüglich des Problems des exakten asymptotischen Verhaltens in Andersons Orthogonalität im Falle des Laplaceoperators und einer kurzreichweitigen Störung wurden ebenso Fortschritte erzielt. So wurde beispielsweise in einer weiteren Arbeit eine neue Darstellung für Fredholmdeterminanten von Differenzen von Spektralprojektionen gefunden. Dies konnte jedoch nicht direkt auf die exakten Asymptotik in Andersons Orthogonalität angewandt werden und so bleibt dies ein offenes Problem. Die fruchtbare Forschungsatmosphäre in London hat weitere erfolgsversprechende Projekte und Kollaborationen bezüglich Fredholmdeterminanten und Dichten von Spektralprojektionen hervorgebracht, die in naher Zukunft vollendet werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A bound on the averaged spectral shift function and a lower bound on the density of states for random Schrödinger operators on Rd , Int. Math. Res. Notices, 2017,00-1–25 (2017)
A. Dietlein, M. Gebert, P Hislop, A. Klein und P. Müller
(Siehe online unter https://doi.org/10.1093/imrn/rnx092) - Bounds on the effect of perturbations of continuum random Schrödinger operators and applications, J. Spectr. Theory
A. Dietlein, M. Gebert und P. Müller
- On an integral formula for Fredholm determinants related to pairs of spectral projections, Integral Equations Operator Theory
M. Gebert
