Synchronization of chaotic systems: Feedback, mutual interaction and unidirectional coupling with delay
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In unserer Arbeit wurden für Bernoulli-Netzwerke mit zeitverzögerten invasiven Kopplungen mit Hilfe der Master Stability Funktion analytische Ergebnisse hergeleitet. Die erzielten Ergebnisse wurden auf einen möglichen Transfer auf andere chaotische Systeme, insbesondere Netzwerken gekoppelter chaotischer Halbleiterlaser, modelliert durch die Lang-Kobayashi-Gleichungen, untersucht. Die Stabilitätsgleichung in einem Bernoulli-Netzwerk lässt sich zu einem Polynom vom Grade der größten Verzögerungszeit reduzieren, welches beispielsweise mit dem Schur-Cohn- Theorem untersucht werden kann. Für ein System mit einer Verzögerungszeit wurde gezeigt, dass stabile Chaossynchronisation nicht möglich ist, wenn die Verzögerungszeit sehr viel größer ist als die lokale Zeitskala, bzw. die lokale Lyapunovzeit. Für ein System ohne Rückkopplung lässt sich ein Zusammenhang zwischen Topologie, Verzögerungszeit und Synchronisierbarkeit herleiten, der durch folgende Gleichung beschrieben wird |γ | < Exp(−τ λ) . Hierbei ist γ der betragsmäßig zweitgrößte Eigenwert der Kopplungsmatrix, τ die Verzögerungszeit und λ der Lyapunov-Exponent. Die Gültigkeit dieser Formel lässt sich auch in Netzen von Lang-Kobayashi-Gleichungen nachweisen. Die Einschränkung, dass in einem System mit Rückkopplung die Verzögerungszeiten derselben exakt auf die der Kopplung abgestimmt sein muss, kann umgangen werden, indem mehrere Verzögerungszeiten in das System eingebracht werden, beispielsweise durch die Einführung mehrere Rückkopplungen. Dennoch entsprechen die möglichen Werte der Verzögerungszeiten bestimmten Relationen, was mit einem weiteren Ergebnis übereinstimmt. So wurde gezeigt, dass sich für ein System mit mehreren Verzögerungszeiten aus Symmetrieüberlegungen bestimmte Bereiche im Parameterraum als Bereiche für eine stabile Chaossynchronisation ausschließen lassen. Dies gilt für bipartite Netze und hängt davon ab, wie die Verzögerungszeiten der Kopplungen und Rückkopplungen in ihrem Verhältnis zueinander stehen. So kann beispielsweise ein doppelt bidirektional gekoppeltes Paar keine Chaossynchronisation aufweisen, wenn sich die beiden Verzögerungszeiten als Verhältnis teilerfremder ungerader ganzer Zahlen schreiben lassen. Dieses Ergebnis lässt sich auch in Simulationen von Lang-Kobayashi-Gleichungen finden, und im Experiment mit gekoppelten Halbleiterlasern nachweisen. Für ein bipartites Netzwerk wurde außerdem gezeigt, dass eine Konfiguration mit zwei großen Verzögerungszeiten, welche leicht voneinander abweichen, nicht zu stabiler Chaossynchronisation führen kann. Die mit der Master Stability Funktion gefundenen Ergebnisse der Bernoulli-Netzwerke lassen sich mit dem selbstkonsistenten Mischungsargument interpretieren. Dieses geht davon aus, dass für eine stabile Chaossynchronisation die Signale aller relevanter Einheiten eines Zeitschrittes in sogenannten Mischungseinheiten mischen und sich im Laufe der Zeit im Netzwerk verteilen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn alle Zyklen eines Netzwerkes teilerfremd sind und lässt sich auch auf Netzwerke mit mehreren Verzögerungszeiten anwenden. Mischen nur einzelne der relevanten Einheiten, kann es zu Untergitter-, bzw. Clustersynchronisation kommen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Secure communication with chaos control. In: Handbook of chaos control, ed. by E. Schöll and H.G. Schuster, Wiley VCH (2007)
Wolfgang Kinzel and Ido Kanter
- Sublattice synchronization of chaotic networks with delayed couplings. Phys. Rev. E. 76, 035202(R) (2007)
Johannes Kestler, Wolfgang Kinzel, Ido Kanter
- Chaos synchronization with dynamic filters: Two-way is better than one-way. Euro. Phys. Lett. 83, 50005 (2008)
I. Kanter, E. Kopelowitz, J. Kestler and W. Kinzel
- Patterns of Chaos Synchronization. 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference 2008
Wolfgang Kinzel, Ido Kanter, Johannes Kestler, Evi Kopelowitz
- Patterns of chaos synchronization. Phys Rev E77, 046209 (2008)
J. Kestler, E. Kopelowitz, I. Kanter and W. Kinzel
- Phase synchronization in mutually coupled chaotic diode lasers. Phys Rev E 78, 025204 (2008)
I. Reidler, W. Kinzel, I. Kanter, and M. Rosenbluh
- Public Channel Cryptography: Chaos Synchronization and Hilbert´s Tenth Problem. Phys. Rev. Lett. 101, 084102 (2008)
I. Kanter, E. Kopelowitz, and W. Kinzel
- Pulses of chaos synchronization in coupled map chains with delayed transmission. Phys. Rev. E, 80, 047203 (2009)
B. Schmitzer, W. Kinzel, and I. Kanter
- Synchronization of networks of chaotic units with time-delayed couplings. Phys. Rev. E, 79, 056207 (2009)
W. Kinzel, A. Englert, G. Reents, M. Zigzag, and I. Kanter
- Zero-lag synchronization of chaotic units with time-delayed couplings. Europhys. Lett., 85, 60005 (2009)
M. Zigzag, M. Butkovski, A. Englert, W. Kinzel and I. Kanter
- Chaos synchronization with time-delayed couplings: Three conjectures. In: From physics to control through an emergent view, ed. by L. Fortuna, A. Fradkov, M. Frasca, World Scientific 2010
W. Kinzel, A. Englert, I. Kanter
- On chaos synchronization and secure communication. Phil Trans R Soc A 368: 379-389 (2010)
W. Kinzel, A. Englert, and I. Kanter
- Zero lag synchronization of chaotic systems with time delayed couplings. Phys. Rev. Lett 104, 114102 (2010)
A. Englert, W. Kinzel, Y. Aviad, M. Butkovski, I. Reidler, M. Zigzag, I. Kanter, M. Rosenbluh
- Zero-lag synchronization and multiple time delays in two coupled chaotic systems. Phys. Rev. E 81, 036215 (2010)
M. Zigzag, M. Butkovski, A. Englert, W. Kinzel, I. Kanter
- Synchronization of chaotic networks with time-delayed couplings: An analytic study. Phys. Rev. E 83, 046222 (2011)
A. Englert, S. Heiligenthal, W. Kinzel, and I. Kanter
- Synchronization of unidirectional time delay chaotic networks and the greatest common divisor. Europhys. Lett. 93 (2011) 60003
I. Kanter, M. Zigzag, A. Englert, F. Geissler, W. Kinzel
