Effektive Theorien in den Materialwissenschaften: Mathematische Herleitung und Analysis

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Bella
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 313878761

Die jüngsten technologischen Fortschritte erlaubten die Entwicklung von Materialien auf immer kleineren Skalen. Hierbei seien als Anwendungen beispielsweise sogenannte ultradünne Schichten genannt. Numerische Untersuchungen von Modellen aus der Materialwissenschaft werden durch die Präsenz unterschiedlicher Längenskalen erheblich erschwert. Anstelle direkter numerischer Analysen treten daher in einem ersten Schritt analytische Studien um ein gewisses Verständnis für die Lösungen zu erhalten. In einem zweiten Schritt werden die so gewonnenen Einsichten dann dazu genutzt, effizientere numerische Methoden zu entwickeln. Unser Ziel ist es, einige solche Probleme rigoros zu analysieren.Im ersten Teil unseres Projekts untersuchen wir die Faltenbildung in komprimierten, dünnen, elastischen Schichten. In einigen Fällen kann das Faltenmuster nicht gleichmäßig sein und dazu führen, daß Verzweigungen in diesem Muster auftreten. Um Faltenbildung in Mikrostrukturen zu verstehen, nehmen wir einen variationellen Standpunkt ein. Wir identifizieren und analysieren das Energiefunktional, entwickelt bis zur zweitniedrigsten Ordnung in der Schichtdicke. Innerhalb dieses Rahmens untersuchen wir unterschiedliche physikalische Situationen, darunter auch ein Modell welches Graphen-Nanobänder beschreibt.Im zweiten Teil studieren wir elliptische Systeme mit zufällig und rasch oszillierenden Koeffizienten. Dabei haben wir als Anwendung ein Modell zur Beschreibung von heterogenen, linear-elastischen Materialien im Sinn. Obwohl das mikroskopische Verhalten ziemlich kompliziert sein kann, sollten stochastische Auslöschungen dazu führen, daß das makroskopische Verhalten viel einfacher und deterministisch ist. Ein solcher Prozess wird Homogenisierung genannt. Wir nutzen Methoden aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen um quantitative Aspekte der stochastischen Homogenisierung elliptischer Systeme zu studieren.Unser letztes Forschungsgebiet betrifft das Verhalten komprimierbarer, viskoser Flüssigkeiten in Gebieten mit unebenen Begrenzungen. Anstatt das Problem in einem Gebiet mit unebenem Rand zu betrachten, stellen wir uns das Problem in einem Gebiet mit glattem Rand in welcher die Unebenheiten des ursprünglichen Gebiets in ein effektives Grenzflächen-Gesetz umformuliert wird. Mit Hilfe des Konzepts der relativen Energie-Ungleichungen für dissipative Lösungen des Navier-Stokes Systems ist es unser Ziel, diese effektiven Grenzbedingungen rigoros herzuleiten und die Abweichungen welche bei einem solchen Ansatz resultieren zu analysieren.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen