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Projekt
Shape Optimierung für Maxwell Gleichungen unter Berücksichtigung von Hysterese Effekten in den Materialgesetzen
Antragstellerinnen / Antragsteller
Privatdozent Dr. Stephan Schmidt; Professorin Dr. Andrea Walther
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2016 bis 2021
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314066080
Dieser Antrag verfolgt zwei Ziele: Zum einen sollen die analytischen Grundlagen zur Optimierung von geometrisch inversen Problemen mit explizit aufgelösten Rändern unter hyperbolischen Gleichungen mit Hysterese Effekten gelegt werden. Die resultierende Darstellung der Formableitung von (quasi) variationellen Ungleichungen schließt Projektionsoperatoren ein, die zu stückweise linearen Ausdrücken führen. Motiviert von diesen intrinsischen Nicht-Glattheiten soll zum anderen ein entsprechender Ansatz zur Optimierung derartiger Probleme in passenden Funktionsräumen zur Verfügung gestellt und analysiert werden. Als Basis dient dazu zunächst der global konvengierende Optimierungsalgorithmus LiPsMin, welcher maßgeschneidert ist zur Minimierung von Lipschitz-stetigen und stückweise glatten Funktionen. Dieser wird hier zum Verfahren auf die Optimierung in Funktionenräumen erweitert. Aufgrund interner quadratischer Unterprobleme in Bezug auf die Schaltstellen werden dafür neue Konzepte für die Ähnlichkeit von Formen benötigt.In Verbindung mit der angestrebten Gitterunabhängigkeit entsteht eine neuartige Alternative zu den vorherrschenden semi-glatten Newton Methoden mit ihrem nur lokalen Konvergenzverhalten. Wo es die Nichtglattheiten erlauben, wird LiPsMin um Gebietsableitungen höherer Ordnung und damit zu SLiPsMin erweitert. Dadurch werden hochaktuelle Interpretationen höhere Gebietsableitungen von partiellen Differentialgleichungen von der glatten in die nichtglatte Situation variationeller Ungleichungen übertragen. Erwartungsgemäß entspricht dies dem Schritt von Pseudo-Differentialoperatoren hin zu Operatoren basierend auf pseudo-Variationsungleichungen.Dieses Projekt wird somit erheblich zu den Themen Modellierung, Problemanalyse, Design von Algorithmen und Konvergenzanalyse in Funktionenräumen, d.h., Area 1 des Schwerpunktprogramms, beitragen. Ausserdem wird substantiell an der Realisierung von Algorithmen unter Berücksichtigung der Interaktion zwischen physikalisch korrekten Hysterese Phänomenen und deren Beschreibung durch Variationsungleichungen und (diskrete) Preisach-Operatoren als ein möglicher Ansatz zur Modellreduktion, d.h., Area 2 des Schwerpunktprogramms, gearbeitet.Bei der Entwicklung der entsprechenden mathematischen Methoden werden Anwendungsmöglichkeiten stets berücksichtigt, durch Konzentration auf den hyperbolischen Fall sind anspruchsvolle Aufgabenstellungen möglich. Als prototypische Anwendung betrachten wir Ionisierung, welche durch Maxwell Gleichungen, formuliert als variationelle Ungleichungen, beschrieben werden kann. Damit ist das vorgeschlagene Forschungsprojekt für Elektrohydrodynamik, Elektrokinesis, Spektrometrie und die Produktion von Ozon hochgradig relevant. Es ermöglicht zudem kontaktfreies Filtern, Strömungskontrolle durch Koronaentladung, die Optimierung von gewissen Typ-II Supraleitern und die Steuerung der Magnetisierung und Polarisierung von Ferromagneten.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
