Optimale Steuerung von elliptischen und parabolischen Quasi-Variationsungleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Hintermüller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314216459

Quasi-Variationsungleichungen (kurz QVIs; engl.) beschreiben Probleme, in denen nichtglatte und nichtlineare Phänomene eine zentrale Rolle spielen. Sie führen auf komplexe Restriktionen, die vom Zustand des zugrundeliegenden Systems abhängen. QVIs können zur Beschreibung der Magnetisierung von Supraleitern, thermoplastischer Effekte in der Torsion, des Verhaltens granulärer Materialien oder des chemotaktischen Verhaltens von Bakterien verwendet werden. Mathematisch betrachtet sind die Lösungsmengen von QVIs im allgemeinen mehrwertig, und sie hängen nichtglatt von Eingabegrößen (wie Daten, Steuerungen etc.) ab.Diese Projekt widmet sich der Analyse und numerischen Lösung von Optimalsteuerproblemen für elliptische und parabolische QVIs. (a) Die Projektarbeit wird sich anfänglich mit Lösungsalgorithmen für QVIs im Funktionenraum befassen. Dabei werden die Verfahren auf zustandsabhängige Hindernis- und Gradientenrestriktionen zugeschnitten. Von spezieller Bedeutung sind hier verallgemeinerte Newton-Verfahren, die auf Pfadverfolgung basieren und gitterunabhängige schnelle lokale Konvergenz aufweisen.(b) Danach wird eine verfeinerte Lösungstheorie für QVIs ausgeführt. Insbesondere werden minimale und maximale Lösungen, deren (differentielle) Stabilität und numerische Approximation betrachtet.(c) In zwei aufeinderfolgenden Arbeitsschritten von zunehmender Komplexität werden dann Stationaritätsbedingungen für die Optimalsteuerprobleme für QVIs hergeleitet. Diese Optimierungsprobleme fallen in die Klasse mathematischer Programme mitGleichgewichtsnebenbedingungen (kurz MPECs; engl.) im Funktionenraum. Technisch betrachtet werden zwei unterschiedliche Glättungszugänge für die Herleitung verwendet: Einerseits wird eine Moreau-Yosida-Regularisierung der Restriktionen verwendet; und andererseits wird ein Technik verfolgt, die den zugrundeliegenden Differentialoperator modifiziert.(d) Schließlich werden nichtglatte Optimierungsmethoden für die betrachteten MPECs entwickelt, die auf einem bündelfreien impliziten Optimierungszugang aufbauen und Relaxations- und Pfadverfolgungstechniken einbeziehen. Es werden auch moderne adaptive Diskretisierungsverfahren verwendet.Der analytische und numerische Fortschritt der Projektarbeit wird anhand prototypischer Anwendungen validiert. Dabei wird die Magnetisierung vom Supraleitern, die thermoplastische Verformung in Torsionsprozessen, das Verhalten granulärer Materialien unddas chemotaktische Verhalten von Bakterien behandelt.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung
• Mitverantwortlich: Dr. Carlos Rautenberg, Ph.D.