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Projekt
Strukturerhaltende Modellreduktion für dissipative mechanische Systeme
Fachliche Zuordnung
Mechanik
Förderung
Förderung von 2016 bis 2022
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315077451
Wir betrachten numerische Methoden für die Modellreduktion (MOR) dissipativer mechanischer Systeme. Gedämpfte mechanische Systeme führen nach Diskretisierung der beschreibenden Elastizitätsgleichungen bzw. deren Modellierung durch FEM auf eine mathematische Modellbeschreibung als Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung. Um optimale Dämpfung zu erreichen, werden an geeigneten Stellen in der Struktur externe Dämpfer angebracht. Die externe Dämpfungsmatrix für k externe Dämpfer kann durch die k Viskositäten sowie die Positionen der Dämpfer parametrisiert werden. Über diese Parameter wird dann optimiert, um ein vorgegebenes Kriterium zur Reduktion von Vibrationen zu minimieren. Dies stellt ein i.d.R. nichtkonvexes Optimierungsproblem dar, welches man mit heuristischen Suchmethoden der globalen Optimierung lösen kann. Die Konvergenz ist dabei meist sehr langsam, z.B. beim Nelder-Mead-Verfahren oder genetischen Algorithmen. In jedem Iterationsschritt ist dabei das Minimierungskriterium auszuwerten, was meist recht aufwändig ist. Minimiert man z.B. die totale im System enthaltene Energie, so kann dies über die Spur der Lösung der zum System gehörigen Lyapunovgleichung geschehen. Deren numerische Lösung ist jedoch sehr aufwändig. Daher sind MOR Methoden der unumgänglich. Dies wurde vom 1. Antragsteller (PB) bereits in mehreren Artikeln diskutiert, wobei allerdings nur einfache modale Analyse zum Einsatz kam. Bei dissipativen Systemen, wie sie bei gedämpften mechanischen Systemen vorliegen, ist es jedoch notwendig, hierzu neuartige MOR Methoden zu entwickeln, bei denen die Eigenschaft der Dissipativität erhalten bleibt, oder, wenn dies nicht möglich ist, das reduzierte System zu dissipassivieren. Daraus ergeben sich die Ziele des Antrags: Zum einen sollen erstmals numerische Algorithmen zur Dissipassivierung mechanischer Systeme entwickelt werden, wobei dies durch minimale Störung des Systems erfolgen soll. Solche Methoden wurden von PB und dem dritten Antragsteller (MV) bereits in anderem Kontext untersucht und sollen hier auf die Struktur von Systemen 2. Ordnung und die neue Aufgabe der Dissipassivierung erweitert werden. Des Weiteren sollen neuartige MOR Methoden entwickelt werden, die für dissipative Systeme 2. Ordnung wiederum reduzierte Modelle mit denselben Eigenschaften generieren. Hierzu werden vier verschiedene Wege untersucht, die einerseits auf Vorarbeiten der Antragsteller zur MOR mechanischer Systeme (PB und 2. Antragsteller (TR)), andererseits auf dem in der Dissertation von MV neu entwickelten Kalkül für dissipative Deskriptorsysteme beruhen: Balanciertes Abschneiden mit Lure-Gleichungen, Formulierung als port-Hamiltonische Systeme und MOR hierfür, Re-formulierung der reduzierten Modelle bei Anwendung von Verfahren für Systeme 1. Ordnung auf die mechanischen Systeme, und MOR für mechanische Systeme mit Beschränkungen. Alle Methoden sollen für Modelle realer Strukturen getestet und verglichen werden.
DFG-Verfahren
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