Hodge Theorie toroidaler Kompaktifizierungen und Torelli Theoreme — K3 Flächen, Abelsche Varietäten und IHSM

• Antragsteller: Professor Dr. Klaus Hulek; Professor Dr. Christian Lehn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315548262

In diesem Projekt soll das Zusammenspiel zwischen Kompaktifizierungen von Modulräumen und Hodge Theorie untersucht werden. Der Fokus liegt dabei auf Modulräumen abelscher Varietäten, K3 Flächen und irreduzibel holomorph symplektischer Mannigfaltigkeiten (IHSM). Die Klassifikation algebraischer Varietäten ist eines der fundamentalsten Probleme der algebraischen Geometrie. Dabei werden üblicherweise Modulräume konstruiert, die die zu klassifizierenden Objekte parametrisieren. K3 Flächen und abelsche Varietäten gehören zu den am besten untersuchten Klassen algebraischer Varietäten und in den letzten Jahrzehnten avancierten auch IHSM, die höherdimensionalen Analoga der K3 Flächen, zu einem zentralen Thema in der algebraischen Geometrie. Die Modulräume dieser Klassen von Varietäten sind stets quasi-projektiv, aber in der Regel nicht projektiv und einer der wichtigsten Forschungsstränge auf dem Gebiet ist daher die Suche nach guten Kompaktifizierungen von Modulräumen.Die Beziehung zwischen Hodge Theorie und algebraischer Geometrie ist ein klassisches Thema und entstand aus der Berechnung von Periodenintegralen. Auch wenn die Hodge Theorie eine von Natur aus analytische Theorie ist, so liegen ihre Hauptanwendungen im Bereich der algebraischen Geometrie und der Arithmetik. Torelli Theoreme stellen eine Verbindung zwischen Modulräumen und Bildern von Periodenabbildungen her. In den von uns betrachteten Fällen sind die Periodenabbildungen sogar surjektiv, sodass man den Modulraum mit einem Quotienten des Periodengebiets nach einer arithmetischen Gruppe identifizieren kann. Damit erhalten diese Räume eine reiche Struktur, die es uns beispielsweise erlaubt, Lie-theoretische Methoden und Modulformen zu verwenden. Insbesondere kann man die Theorie der toroidalen oder semitorischen Kompaktifizierungen von Mumford, Looijenga und anderen verwenden. Dies wurde im ersten Teil dieses Projekts ausgenutzt und hat unter anderem zu neuen semitorischen Kompaktifizierungen von Modulräumen von K3-Flächen geführt.Im aktuellen Projekt werden Torelli Theoreme als Leitprinzip dienen. So sollen Entartungen von Varietäten (die Randpunkten in Kompaktifizierungen von Modulräumen entsprechen) über Torelli Theoreme mit Entartungen von Hodge Strukturen (die mit speziellen semitorischen Kompaktifizierungen im Zusammenhang stehen) in Beziehung gebracht werden. Das Langzeitziel dieses Forschungsprojekts ist die Konstruktion modularer Kompaktifizierungen von Modulräumen mithilfe von Hodge Theorie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen