Hodge Theorie toroidaler Kompaktifizierungen und Torelli Theoreme — K3 Flächen, Abelsche Varietäten und IHSM

• Antragsteller: Professor Dr. Klaus Hulek; Professor Dr. Christian Lehn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 315548262

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Dieses Projekt untersuchte Kompaktizierungen von Modulräumen polarisierter K3-Flächen mit Ursprung in der Spiegel-Symmetrie. Ausgangspunkt war ein von Gross, Hacking, Keel und Siebert (GHKS) vorgeschlagener Zugang. Unser Ziel war es, ein tieferes Verständnis der geometrischen und kombinatorischen Strukturen zu erlangen, die diesen Kompaktizierungen zugrunde liegen, sowie den Zusammenhang mit Entartungen von K3-Flächen und deren höherdimensionalen Analoga, den irreduziblen holomorph-symplektischen Mannigfaltigkeiten (IHSM), zu untersuchen. Ein zentrales Ergebnis war die vollständige und explizite Beschreibung des sogenannten Mori- Fächers der Spiegel-Familie im Grad 2. Diese Beschreibung basiert auf sogenannten "Kurvenstrukturen", einer kombinatorischen Invariante, die in der ersten Förderperiode eingeführt wurde. In der zweiten Förderperiode wurde dieser Zugang wesentlich weiterentwickelt, was zur Einführung des Begriffs der "kombinatorischen K3-Fläche" führte. Diese Objekte kodieren geometrische Information von Entartungen von K3-Flächen mittels diskreter Invarianten und ermöglichen so eine effektivere algorithmische Behandlung. Dies ermöglicht eine Implementierung der Objekte am Computer, die im Rahmen eines vielversprechenden Folgeprojekts in SageMath geplant ist. Darüber hinaus konnten auch in anderen, für Modulräume von K3-Flächen und deren Kompaktizierungen wichtigen Bereichen Fortschritte erzielt werden. Hierzu zählen insbesondere Entartungen von IHSM, wobei die im Projekt erzielten Resultate die bislang umfassendste Untersuchung von Typ-II-Entartungen solcher Mannigfaltigkeiten darstellen. Weitere wesentliche Beiträge betreffen Torelli-Sätze für singuläre symplektische Varietäten, wodurch die Klasse der mittels Periodenabbildungen konstruierbaren Modulräume deutlich vergrößert wurde. Darüber hinaus wurden im Projekt Ergebnisse über Modulräume von Enriques-Flächen, die Singularitäten der Perfect-Cone-Kompaktizierung sowie die Deformationstheorie entarteter Varietäten erzielt. Auch wenn unerwartete Herausforderungen und neue, vielversprechende Fragestellungen eine Abweichung vom ursprünglichen Arbeitsplan erforderlich machten, ist es gelungen, das Verständnis fundamentaler Probleme im Zusammenhang mit diesen Modulräumen erheblich zu vertiefen. Das Projekt eröffnete neue Perspektiven für weiterführende Forschung, insbesondere für einen rechnergestützten, kombinatorischen Zugang und für geometrische Beispiele in höherer Dimension. Nicht zuletzt waren zahlreiche Nachwuchswissenschaftler*innen aktiv in das Projekt eingebunden, die sowohl vom Projekt profitierten, als auch das Projekt sehr substantiell von ihnen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A GIT Construction of Degenerations of Hilbert Schemes of Points. Documenta Mathematica, 24, 421-472.
  Gulbrandsen, Martin G.; Halle, Lars H. & Hulek, Klaus
  
• On the GHKS compactication of the moduli space of K3 surfaces of degree two
  Klaus Hulek, Christian Lehn & Carsten Liese
  
• The geometry of degenerations of Hilbert schemes of points. Journal of Algebraic Geometry, 30(1), 1-56.
  Gulbrandsen, Martin; Halle, Lars; Hulek, Klaus & Zhang, Ziyu
  
• The Kodaira dimension of some moduli spaces of elliptic K3 surfaces. Journal of the London Mathematical Society, 104(1), 269-294.
  Fortuna, Mauro & Mezzedimi, Giacomo
  
• The perfect cone compactification of quotients of type IV domains. manuscripta mathematica, 170(1-2), 49-61.
  Giovenzana, Luca
  
• The global moduli theory of symplectic varieties. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2022(790), 223-265.
  Bakker, Benjamin & Lehn, Christian
  
• The Mori fan of the Dolgachev-Nikulin-Voisin family in genus 2. Épijournal de Géométrie Algébrique, Volume 6.
  Hulek, Klaus & Liese, Carsten
  
• Deformations of rational curves on primitive symplectic varieties and applications. Algebraic Geometry, 199-227.
  Lehn, Christian; Mongardi, Giovanni & Pacienza, Gianluca
  
• Moduli of polarised Enriques surfaces — Computational aspects. Journal of the London Mathematical Society, 109(1).
  Sikirić, Mathieu Dutour & Hulek, Klaus
  
• Rational curves on primitive symplectic varieties of OGs - 6 type. Mathematische Zeitschrift, 304(2).
  Bertini, Valeria & Grossi, Annalisa
  
• Symplectic rigidity of O’Grady’s tenfolds. Proceedings of the American Mathematical Society.
  Giovenzana, Luca; Grossi, Annalisa; Onorati, Claudio & Veniani, Davide
  
• Corrigendum to the paper "The Mori fan of the Dolgachev-Nikulin-Voisin family in genus 2" by K. Hulek and C. Liese
  Mathieu Dutour Sikiri¢, Klaus Hulek & Christian Lehn
  
• Unobstructedness of deformations for a d-semistable central corank one boundary point. Geometriae Dedicata, 219(5).
  Marie, Emeryck
  
• Combinatorial K3 surfaces and the Mori fan of the Dolgachev–Nikulin–Voisin family in degree 2. Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry.
  Hulek, Klaus & Lehn, Christian