Symplektische Methoden im restringierten Dreikörperproblem

• Antragsteller: Professor Dr. Kai Cieliebak; Professor Dr. Urs Frauenfelder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316136360

Das N-Körperproblem der Himmelsmechanik, d.h. die Bewegung von N Himmelskörpern unter ihrer gegenseitigen Gravitationskraft, war eine wichtige Motivation für die Entwicklung der Physik und Mathematik seit den Zeiten von Newton. Beispielsweise führte es zur Entdeckung von Chaos wie auch der Stabilitätstheorie von Arnold, Kolmogorov und Moser. Während das Zweikörper- oder Keplerproblem vollständig integrierbar ist und explizit gelöst werden kann, ist die Dynamik von drei Körpern schon ausgesprochen kompliziert und führt zu chaotischem Verhalten, welches noch lange nicht vollständig verstanden ist. Ein interessanter Spezialfall, der von Poincare vorgeschlagen wurde, tritt auf, wenn die Masse des dritten Körpers (des Satelliten) vernachlässigbar ist im Vergleich zu den Massen der beiden andern (der Primärkörper). Falls zusätzlich die beiden schweren Körpern sich auf einer Kreisbahn bewegen und die drei Körper sich in derselben Ebene befinden, dann führt die Transformation in ein rotierendes Koordinatensystem das Problem über in die Bewegung auf einer dreidimensionalen Niveaufläche eines zeitunabhängigen Hamiltonschen Systems mit zwei Freiheitsgraden. Dieser Fall ist unter dem Namen des (ebenen kreisförmigen) restringierten Dreikörperproblems bekannt. Neben seinem theoretischen Interesse ist dieses Problem auch von praktischer Bedeutung für das Design von Satellitenbahnen, da die Bewegung eines Satelliten unter dem Einfluss der Erde und des Mondes oder dem Einfluss der Sonne und der Erde grob in dieses Schema passt. Das Ziel des Projektes ist das Studium der Dynamik des restringierten Dreikörperproblems unter Benützung der Techniken der modernen symplektischen Geometrie, insbesondere holomorpher Kurven. Spezielle Ziele sind folgende:1. Holomorphe Blätterungen für das ebene restringierte Dreikörperproblem unterhalb und oberhalb des ersten kritischen Wertes zu konstruieren.2. Familien periodischer Bahnen im räumlichen restringierten Dreikörperproblem und ihre Omega-Limesmengen zu untersuchen.3. Invarianten von Stark-Zeeman-Systemen mit zwei Zentren zu definieren und sie auf die Frage der faserweisen Konvexität des ebenen restringierten Dreikörperproblems anzuwenden.4. Eigenschaften der Lagrange-Kapazität herzuleiten, insbesondere ihre Beziehung zu den Ekeland-Hofer-Kapazitäten.5. Eine mathematische Theorie der Treibstoffminimierung zu entwickeln und ihre Verbindungen zu Konzepten der symplektischen Topologie wie Floer-Homologie und Manes kritischem Wert zu erforschen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen